logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - szkoła ponadpodstawowa » zadanie

Geometria, zadanie nr 5404

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

toto1991
postów: 9
2015-09-14 09:21:01

Czy zbiór izometrii własnych kwadratu tworzy grupę? Jakiej permutacji wierzchołków odpowiada każda z izometrii? Czy każdej permutacji odpowiada jakieś przekształcenie? Proszę o pomoc.


tumor
postów: 8070
2015-09-14 10:55:40

Istnieje izometria, która nic nie robi (tożsamość), to jest element neutralny.
Złożenie izometrii jest izometrią, zatem działaniem w grupie byłoby składanie.
Elementem przeciwnym do izometrii jest odwzorowanie odwrotne, też izometria.
Złożenie izometrii z izometrią odwrotną daje oczywiście tożsamość.

Zatem jest to grupa.

Pomyśl, jakie izometrie ma kwadrat. Można go obrócić o kąt (by się nałożył na siebie, jakie kąty wchodzą w grę?), można przekształcić w symetrii osiowej względem przekątnej albo względem symetralnej boku. Zastanów się, ile różnych izometrii jest. Czy permutacji zbioru czteroelementowego jest tyle samo?

Lub inaczej: W permutacji zbioru 1234 dowolne dwa elementy mogą się znaleźć obok siebie. Czy jeśli weźmiesz w kwadracie wierzchołki leżące naprzeciw siebie, to istnieje izometria, w obrazie której wierzchołki te będą sąsiadować?

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj