Trygonometria, zadanie nr 5418

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
gdoyle postów: 17	2015-09-24 16:37:35 Proszę o pomoc $cos36-cos72$

tumor postów: 8070	2015-09-24 17:10:14 Za $cos36^\circ$ i $cos72^\circ$ podstawiamy tabelkowe wartości, odpowiednio: $\frac{1+\sqrt{5}}{4}$ oraz $\frac{\sqrt{5}-1}{4}$ Jeśli nie wolno nam użyć tabelki, to wyprowadzamy te wielkości przyjemnym rozumowaniem: Rysujemy trójkąt równoramienny o kątach 36,72,72 i dla łatwości liczenia podstawie 1 i ramieniu x. Dwusieczna kąta 72 dzieli ramię na odcinki o długości 1 i x-1 Wyliczamy x z proporcji $\frac{x}{1}=\frac{1}{x-1}$ $x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$ Stąd $cos72^\circ$ gotowy. Natomiast ten drugi jako cos połowy kąta ze wzoru $cos2x=2cosx-1$ ----- Do zadania można też podejść bez użycia geometrii, korzystając z tożsamości trygonometrycznych. Mamy $cos72=2cos^236-1$ oraz $cos36=2cos^218-1$ oraz $cos18=sin72$ i $sin^272=1-cos^272$ Wstawiając to kolejno otrzymujemy wielomian, może nie piękny, ale akceptowalny, do zrobienia na poziomie liceum. Wiadomość była modyfikowana 2015-09-24 18:32:45 przez tumor

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj