Pierwiastki, potęgi, logarytmy, zadanie nr 5424

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
dzordz98 postów: 35	2015-09-28 20:48:54 Usuń niewymierność z mianownika ułamka: w liczniku jest 1 a w mianowniku: \sqrt{15}-\sqrt{3}+2\sqrt{5}-2 Prosze o pomoc. Męczę się z tym już ponad godzinę. Z góry dziękuję :) Wiadomość była modyfikowana 2015-09-28 20:58:42 przez dzordz98

tumor postów: 8070	2015-09-28 21:04:16 $\frac{1}{\sqrt{15}-\sqrt{3}+2\sqrt{5}-2}$ zauważmy, że $\frac{1}{\sqrt{15}-\sqrt{3}+2\sqrt{5}-2}=\frac{1}{2+\sqrt{3}}\frac{1}{\sqrt{5}-1}$ A usunięcie niewymierności z mianownika w tych ułamkach nie powinno być trudne. ---- Uwagi 1. Widziałem, że się trochę męczysz z robieniem ułamków i pierwiastków. W końcu wyszło, taki zapis jest już czytelny. Bardzo fajnie, że nie wklejasz zamiast tego skanu i nie idziesz na łatwiznę. 2. Możesz się zastanawiać, jak doszedłem do rozkładu na ułamki. Widząc, że w mianowniku jest $\sqrt{3}, \sqrt{5}$ i $\sqrt{15}=\sqrt{5}\sqrt{3}$ pomyślałem, że da się mianownik rozłożyć jako $(a+b\sqrt{3})(c+d\sqrt{5})$ Pozostało tylko dobrać odpowiednio a,b,c,d by iloczyn się zgadzał. Można rzecz jeszcze nieco uprościć przyjmując od razu jeden z współczynników równy 1. Dla przykładu b=1. $(a+\sqrt{3})(c+d\sqrt{5})=\sqrt{15}-\sqrt{3}+2\sqrt{5}-2$ czyli $\sqrt{3}*d\sqrt{5}=\sqrt{15}$ czyli $d=1$ dalej $ad\sqrt{5}=2\sqrt{5}$ czyli $a=2$ dalej $ac=-2$ $c=-1$ Sprawdzamy jeszcze, czy iloczyn wyjdzie poprawny. Wiadomość była modyfikowana 2015-09-28 21:12:14 przez tumor

dzordz98 postów: 35	2015-09-28 21:07:01 tylko nie rozumiem dlaczego otrzymaliśmy takie dwa ułamki

dzordz98 postów: 35	2015-09-28 21:21:09 Robiąc tą metodą kolejny przykład wyszło mi odwrotnie. tzn w odpowiedzi jest (\sqrt{3}+2) a mi wyszło (2+\sqrt{3}). Skąd mam wiedziec czy najpierw w nawiasie dać liczbę całkowitą czy pierwiastek? :)

tumor postów: 8070	2015-09-28 21:27:49 Albo a) odpowiedź jest błędna, bo ja się nigdy nie mylę albo b) dodawanie jest przemienne, 3+5=5+3 i kolejność nie ma znaczenia. ---------- Można było podejść do zagadnienia trochę inaczej. Mamy $\frac{1}{A+B+C+D}$, gdzie A,B,C,D są pewnymi liczbami, akurat w większości pierwiastkami. Znów zauważamy, że $\sqrt{15}=\sqrt{3}*\sqrt{5}$, czyli że nie są to pierwiastki zupełnie niezwiązane ze sobą, ale że jeden jest iloczynem dwóch pozostałych. Możemy skorzystać ze wzoru $(A+B+C+D)(A+B-C-D)=A^2+B^2-C^2-D^2+2AB-2CD$ Co tu widzimy? Że jeśli $A,B,C,D$ było pierwiastkiem drugiego stopnia z liczb całkowitych, to oczywiście $A^2+B^2-C^2-D^2$ jest liczbą całkowitą, więc niezależnie od tego, które wyrażenia weźmiemy za które litery, przykład już się uprości. Jeśli mamy szczęście, uprości się od razu wystarczająco. :)

dzordz98 postów: 35	2015-09-28 21:36:52 Zły wynik wychodzi mi w tej metodzie A B C D a w tej pierwszej znowu wyszły mnie odwrotnie wyrażenia w nawiasie tylko tym razem juz z -. Nie ma jeszcze jakieś kolejnej metody na to?

tumor postów: 8070	2015-09-28 21:45:39 Metody opisane wyżej pozwolą się z przykładami rozprawić. Wyniki, jeśli nie popełnisz błędu rachunkowego, wyjdą poprawne. Odpowiedzi w książce też trzeba umieć czytać. Pozdrawiam. --- To jest ciekawy problem. Przy jakiejś znajomości matematyki można oszukiwać, że wie się więcej niż się naprawdę wie. Ale przychodzi i taki stopień złożoności, że nie tylko nie potrafi się rozwiązać zadania, ale nie potrafi się też rozpoznać odpowiedzi w odpowiedzi, porównać dwóch odpowiedzi (czy są takie same czy nie). Tylko raz widziałem człowieka, który na mapie Europy nie wskazał Europy, za to wiele razy dałem odpowiedź na zadanie matematyczne i zlecający nie wiedzieli, czy to już odpowiedź czy jeszcze nie. Wiadomość była modyfikowana 2015-09-29 08:36:00 przez tumor

dzordz98 postów: 35	2015-09-28 21:49:17 Nie popełniam błędu rachunkowego i dobrze czytam odpowiedzi. Tak czy inaczej bardzo dziękuję za pomoc :)

dzordz98 postów: 35	2015-09-28 22:14:52 Nie wydaje mi się abym miała problemy z odczytywaniem odpowiedzi. Chociaż właściwie już bardzo długo siedzę nad tym zadaniem i może po prostu jestem zbyt zmęczona. Wrócę do niego jutro rano i może faktycznie coś wynajdę

irena postów: 2636	2015-09-29 09:08:48 W tym przypadku można zamienić mianownik na iloczyn metodą grupowania wyrazów: $\sqrt{15}-\sqrt{3}+2\sqrt{3}-2=\sqrt{3}(\sqrt{5}-1)+2(\sqrt{5}-1)=(\sqrt{5}-1)(\sqrt{3}+2)$ I wtedy: $\frac{1}{\sqrt{15}-\sqrt{3}+2\sqrt{5}-2}=\frac{(\sqrt{5}+1)(\sqrt{3}-2)}{(5-1)(3-4)}$

strony: 1 2

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj