Pierwiastki, potęgi, logarytmy, zadanie nr 5426

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
dzordz98 postów: 35	2015-09-29 16:17:20 Bardzo proszę o pomoc. Jutro mam z tego sprawdzian Wykaż że \sqrt[3]{20-14\sqrt{2}}+\sqrt[3]{20+14\sqrt{2}}=4 Próbowałam to podnosić do sześcianu jednak nie wychodzi mi ten wynik. W odpowiedzi jest napisane, ze to co jest pod pierwiastkiem można też przedstawić jako (2-\sqrt{2})^3 ale nie wiem jak do tego dojść Z góry dziękuję za pomoc :)

irena postów: 2636	2015-09-29 18:41:20 Bez tej uwagi można tak (chociaż to jest żmudne): $a=\sqrt[3]{20-14\sqrt{2}}$ $b=\sqrt[3]{20+14\sqrt{2}}$ Mamy obliczyć $a+b=x$ Podnieśmy tę sumę do sześcianu: $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=a^3+b^3+3ab(a+b)$ $a^3+b^3=20-14\sqrt{2}+20+14\sqrt{2}=40$ $ab=\sqrt[3]{(20-14\sqrt{2})(20+14\sqrt{2})}=\sqrt[3]{400-392}=\sqrt[3]{8}=2$ I mamy: $(a+b)^3=40+3\cdot2(a+b)$ czyli: $x^3=40+6x$ $x^3-6x-40=0$ Mamy pokazać, że x=4, czyli nasz wielomian musi dzielić się przez (x-4) i rzeczywiście, jednym z pierwiastków jest x=4, bo $4^3-6\cdot4-40=64-24-40=0$ $x^3-4x^2+4x^2-16x+10x-40=0$ $x^2(x-4)+4x(x-4)+10(x-4)=0$ $(x-4)(x^2+4x+10)=0$ $\Delta=16-40<0$ $x-4=0$ $x=4$ Mamy więc, że $a+b=\sqrt[3]{20-14\sqrt{2}}+\sqrt[3]{20+14\sqrt{2}}=4$

irena postów: 2636	2015-09-29 18:43:09 A przy wykorzystaniu uwagi; $(2-\sqrt{2})^3=8-12\sqrt{2}+12-2\sqrt{2}=20-14\sqrt{2}$ i $(2+\sqrt{3})^3=20+14\sqrt{2}$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj