Liczby rzeczywiste, zadanie nr 5448
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
| dagmara postów: 11 |  2015-10-14 13:02:25Udowodnij, że a jest liczbą naturalną $a=\sqrt[3]{6+\sqrt[3]{6+\sqrt[3]{6+\sqrt[3]{6+...}}}}$ |
| tumor postów: 8070 | 2015-10-14 13:14:50 Podnosząc obie strony do trzeciej potęgi mamy $a^3=6+\sqrt[3]{6+\sqrt[3]{6+\sqrt[3]{6+\sqrt[3]{6+...}}}}$ czyli $a^3=6+a$ czyli $a^3-a-6=0$ Rozwiązujemy równanie wielomianowe. Jednym z jego rozwiązań jest a=2. Wobec tego wiemy już, jak grupować. $a^2(a-2)+2a(a-2)+3(a-2)=0$ $(a^2+2a+3)(a-2)=0$ $\Delta<0$ czyli $a=2$ jest jedynym rzeczywistym rozwiązaniem równania. Wobec czego widać, że $a$ jest liczbą naturalną. |
| dagmara postów: 11 | 2015-10-14 13:17:40 Czy można to rozwiązać innym sposobem? |
| tumor postów: 8070 | 2015-10-14 13:38:30 Wszystko można rozwiązać innym sposobem, tylko niekoniecznie jest to sposób znany. Teoretycznie można na przykład pokazać, że jeśli $a_1=\sqrt[3]{6}$ oraz $a_{n+1}=\sqrt[3]{6+a_n}$ to granicą ciągu $a_n$ jest liczba 2. Łatwo dla przykładu pokazać, że ciąg jest rosnący i ograniczony z góry przez 2. Zapewne nieco trudniej jednak pokazać samą granicę w sposób sprytny i czytelny. Wiemy, że $\sqrt[3]{6}>2-\frac{1}{2}$ Załóżmy, że $a_n>\frac{1}{2^n}$ dla pewnego n naturalnego. Wówczas $a_{n+1}=\sqrt[3]{6+a_n}>\sqrt[3]{8-\frac{1}{2^n}}$ Przy tym $8-\frac{1}{2^n}>(2-\frac{1}{2^{n+1}})^3=(2-\frac{1}{2^{n+1}})^3= 8-\frac{3*4}{2*2^{n}}+\frac{3*2}{4*4^n}-\frac{1}{8*8^n}= 8-\frac{1}{2^n}(6-\frac{3}{2*2^n}+\frac{1}{8*(2^n)^2})$ Co wypada uzasadnić Podstawmy $\frac{1}{2^n}=x$ Wyrażenie $6-\frac{3}{2*2^n}+\frac{1}{8*(2^n)^2}$ przyjmie postać $6-\frac{3}{2}x+\frac{1}{8}x^2$ Policzmy, dla jakich x mamy $6-\frac{3}{2}x+\frac{1}{8}x^2>1$ czyli $5-\frac{3}{2}x+\frac{1}{8}x^2>0$ Będzie $\Delta=\frac{9}{4}-4*5*\frac{1}{8}=\frac{9-10}{4}<0$ zatem dla $x\in R$ mamy $6-\frac{3}{2}x+\frac{1}{8}x^2>1$ wobec czego $a_{n+1}>\sqrt[3]{8-\frac{1}{2^n}}>2-\frac{1}{2^{n+1}}$ Poza tym, skoro $a_1<2$ to także $6+a_1<8$ czyli $\sqrt[3]{6+a_1}<2$ Indukcyjnie $a_n<2$ dla $n\in N$. Stąd z twierdzenia o trzech ciągach mamy $a_n=2$, przynajmniej o ile się nie pomyliłem w liczeniu, bo straszne nudy takie obliczenia. Rozwiązywanie tego samego zadania na inne sposoby to fajne ćwiczenie dla mózgu. Nie żal Ci, że dla mojego? Wiadomość była modyfikowana 2015-10-14 14:15:29 przez tumor |
| dagmara postów: 11 | 2015-10-14 14:46:41 Żal. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj