logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - szkoła ponadpodstawowa » zadanie

Pierwiastki, potęgi, logarytmy, zadanie nr 5554

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

dk9090
postów: 7
2015-11-26 12:41:25

$log_{\frac{1}{3}}(\frac{1}{x}) - \frac{1}{log_{\frac{1}{3}}x} \ge 2$


tumor
postów: 8070
2015-11-26 13:35:24

Najpierw założenia, $x>0$, $x\neq 1$

$log_\frac{1}{3}(\frac{1}{x})=-log_\frac{1}{3}x$

następnie możemy podstawić $log_\frac{1}{3}x=t$,
nierówność przyjmie postać
$-t-\frac{1}{t}\ge 2$
Możemy pomnożyć przez kwadrat mianownika
$-t^3-2t^2-t\ge 0$
a to prosta nierówność wielomianowa.
Mając rozwiązanie dla t, wracamy do x.


dk9090
postów: 7
2015-11-26 13:48:58

Czyli
$t \in (-\infty, 0>$
$log_{\frac{1}{3}}x = 0$
$x = 1$
$x \in (-\infty, 1> \wedge x \in D \Rightarrow x \in (0, 1)$
Tak?


tumor
postów: 8070
2015-11-26 14:32:42

Sprawdź. Weź $x\in (0,1$), na przykład $x=\frac{1}{3}$ albo $x=\frac{1}{9}$ i zobacz, czy będzie ok.

---

Mamy $t\in (-\infty, 0>$ oraz $log_\frac{1}{3}x=t$
czyli
$log_\frac{1}{3}x\le 0$
$x \ge (\frac{1}{3})^0$
Mamy tu zmianę znaku nierówności, bo podstawą potęgi/logarytmu jest liczba z przedziału $(0,1)$.
A biorąc pod uwagę dziedzinę, będzie
$x\in (1,\infty)$
Teraz też sprawdź, czy jest ok. Weź $x=3$ albo $x=\sqrt{3}$ albo $x=27$, jakieś liczby z otrzymanego przedziału, dla których łatwo policzyć wartość.



dk9090
postów: 7
2015-11-26 20:15:49

Właśnie mi coś nie pasowało. Dzięki.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj