Geometria, zadanie nr 56
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
steeve postów: 5 | 2010-04-02 22:58:44 Zad. Pole trapezu jest równe "P", a stosunek długości podstaw trapezu wynosi 2. Przekątne dzielą ten trapez na cztery trójkąty. Oblicz pole każdego z tych trókątów. Kompletnie nie mam na to pomysłu;/ Zacząłem coś robić z tym, stosunkiem boków ale utknąłem. |
zorro postów: 106 | 2010-04-03 03:35:48 Zadanie wymaga nieco sprytu i dokładnego rysunku pomocniczego. Zrób tak: Narysuj trapez (przypadek ogólny) o dłuższej podstawie na dole i oznacz wierzchołki A,B,C,D poczynając od lewego dolnego rogu i poruszając się przeciwnie do wskazówek zegara. Teraz narysuj przekątne i punkt ich przecięcia oznacz przez S. Poprowadź wysokość trapezu przechodząc przez punkt S i oznacz na dłuższej podstawie punkt K, a na krótszej punkt L na styku lini wysokości i podstaw. Teraz wprowadźmy pomocnicze oznaczenia: Pole trójkąta ABS = $P_{1}$ Pole trójkąta DCS = $P_{2}$ Pole trójkąta ADS = $P_{3}$ Pole trójkąta BCS = $P_{4}$ odcinek AB = $a_{1}$ (podstawa dłuższa) odcinek CD = $a_{2}$ (podstawa krótsza) odcinek KS = $h_{1}$ (dłuższa część wysokości) odcinek LS = $h_{2}$ (krótsza część wysokości) odsinek AS = $b_{1}$ odsinek CS = $b_{2}$ odsinek BS = $c_{1}$ odsinek DS = $c_{2}$ Kąt $\angleASB = \angleCSD = \alpha$ Kąt $\angleASD = \angleCSB = \beta$ Mamy: $P_{1}+P_{2}+P_{3}+P_{4}=P$ oraz: $\frac{1}{2}(a_{1}+a_{2})(h_{1}+h_{2})=P$ (wzór na pole trapezu gdzie wysokość = $h_{1}+h_{2}$) wiemy też, że $a_{1}= 2a_{2}$ co pociąga za sobą $h_{1}= 2h_{2}$ $b_{1}= 2b_{2}$ $c_{1}= 2c_{2}$ ponieważ trójkąty ASB i CSD są podobne. drugie równanie można więc przekształcić: $\frac{1}{2}(a_{1}+a_{2})(h_{1}+h_{2})=\frac{1}{2}(2a_{2}+a_{2})(2h_{2}+h_{2})=\frac{9}{2}a_{2}h_{2}=9P_{2}=P$ więc $P_{2}=\frac{1}{9}P$ teraz określamy stosunki pól odpowiednich trójkątów $\frac{P_{1}}{P_{2}}=\frac{\frac{1}{2}a_{1}h_{1}}{\frac{1}{2}a_{2}h_{2}}=\frac{2a_{2}2h_{2}}{a_{2}h_{2}}=4$ $P_{1}=4P_{2}=\frac{4}{9}P$ $\frac{P_{3}}{P_{4}}=\frac{\frac{1}{2}b_{1}c_{2}sin\beta}{\frac{1}{2}c_{1}b_{2}sin\beta}=\frac{b_{1}c_{2}}{c_{1}b_{2}}=1$ $P_{3}=P_{4}$ z równania pierwszego (sumy pól) i ostatniej równości mamy: $P_{1}+P_{2}+P_{3}+P_{4}=\frac{4}{9}P+\frac{1}{9}P +2P_{3}=P$ $2P_{3}=P-\frac{5}{9}P=\frac{4}{9}P$ $P_{3}=\frac{2}{9}P$ więc i $P_{4}=\frac{2}{9}P$. |
strony: 1 |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj