Geometria w układzie kartezjańskim, zadanie nr 5692

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
dagmara postów: 11	2016-03-02 23:38:31 Znajdź zbiór środków cięciw paraboli $y=-x^{2}$ przechodzących przez punkt $P (0,-2)$

tumor postów: 8070	2016-03-03 00:02:15 Prosta przechodząca przez P nie jest pionowa, skoro ma mieć dwa punkty przecięcia z parabolą. Zatem możemy ją zapisać jako $y=a(x-0)-2$, gdzie $a$ jest dowolną liczbą rzeczywistą. Wzór paraboli to $y=-x^2$, a interesują nas (częściowo, nie jako wynik końcowy) punkty przecięcia prostej i paraboli. Zatem $-x^2=ax-2$ $0=x^2+ax-2$ $\Delta=...$ $x_1=...$ $x_2=...$ środki cięciw mają odciętą $x_0=\frac{x_1+x_2}{2}$, tu podstawiamy wyliczony wcześniej wartości $x_1$ i $x_2$ zależne od a, natomiast rzędną $y_0=ax_0-2$, gdzie podstawiamy nasze $x_0$. Jeśli teraz zmienna $a$ przebiega zbiór liczb rzeczywistych, to $(x_0,y_0)$ dają zbiór punktów, które mamy znaleźć. Możemy drugą współrzędną tych punktów wyrazić jako funkcję pierwszej współrzędnej, taki zapis będzie może dla kogoś bardziej oczywisty.

dagmara postów: 11	2016-03-03 00:21:58 Dziękuję, jednak wciąż jestem w tym samym miejscu. Wyliczyłam współrzędne środka cięciw $(-\frac{1}{2}a,-\frac{1}{2}a^{2}-2)$ Nie rozumiem dwóch ostatnich zdań, czy można bardziej je rozwinąć?

tumor postów: 8070	2016-03-03 08:18:11 Środków cięciw jest nieskończenie wiele, to wszystkie takie punkty jak wyliczone, gdzie $a\in R$. No ale można zapisać ten wynik nieco inaczej. Zauważ, że jeśli pierwsza współrzędna to $x=-\frac{a}{2}$, to druga $y=-\frac{a^2}{2}-2=-2(\frac{-a}{2})^2-2=-2x^2-2$ Zatem te same punkty możemy opisać jako $(x,-2x^2-2)$, albo inaczej jako $y=-2x^2-2$, czyli zapisując w postaci funkcji $y(x)$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj