Stereometria, zadanie nr 5693

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
myszek postów: 2	2016-03-05 12:23:29 Punkty K,L,M są środkami krawędzi AB,BC i BB' sześcianu ABCDA'B'C'D'. a) Jaką część objętości sześcianu stanowi objętość ostrosłupa KLMB? b) Wiedząc dodatkowo, że odległość wierzchołka B od płaszczyzny (KLM) jest równa \sqrt{3} (pierwiastek z 3) , oblicz długość krawędzi sześcianu. Bardzo proszę o pomoc :) wyniki to a) 1/24 b) 3

janusz78 postów: 820	2016-03-07 15:36:12 Pierwszy sposób (bezpośrednie obliczenie objętości) $V = a^3 $ objętość sześcianu o krawędzi długości $ a. $ $ v= \frac{1}{3}P_{p}h $- objętość ostrosłupa $ P_{p} $ - pole trójkąta prostokątnego równoramiennego. $ h =\frac{a}{2}$ - wysokość ostrosłupa. $ P_{p}= \frac{1}{2}(\frac{a}{2})^2= \frac{1}{8}a^2.$ Objętość ostrosłupa $ v = \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\frac{a}{2}\frac{a}{2}\frac{a}{2}= \frac{a^3}{48}= \frac{1}{48}a^3 = \frac{1}{48}V.$ Drugi sposób (skala podobieństwa) Objętość V' sześcianu o krawędziach długości $ \frac{1}{2}a $ jest równa sześcianowi skali podobieństwa $ k=\frac{1}{2}.$ Objętość sześcianu o krawędzi długości $\frac{1}{2}a $ $ V'= (\frac{a}{2})^3= \frac{1}{8}a^3 = \frac{1}{8}V.$ Objętość ostrosłupa $v = \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}V'= \frac{1}{6}\cdot \frac{1}{8}V= \frac{1}{48}V.$ b) $\frac{1}{48}a^3 = \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot b \cdot h_{b}\cdot\sqrt{3}.$ $ b = \frac{1}{2}\frac{a}{2}\sqrt{2}.$ $ h_{b}= \sqrt{(\frac{a}{2})^2 + (\frac{1}{2}\frac{a}{2}\sqrt{2})^2},$ $h_{b} = \frac{a\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}.$ $\frac{1}{48}a^3 = \frac{1}{3}\frac{1}{2}\frac{1}{2}\frac{a}{2}\sqrt{2}\frac{a\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}\sqrt{3}.$ $ \frac{1}{48}a^3 =\frac{1}{48}a^2\cdot 3.$ $ a^3 = 3a^2. $ $ a^3-3a^2=0 , \ \ a^2(a-3) =0, \ \ a=3.$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj