logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - szkoła ponadpodstawowa » zadanie

Prawdopodobieństwo, zadanie nr 5849

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

coetzee
postów: 4
2016-09-08 13:02:21

Cześć,
Mam problem z zadaniem z wykorzystaniem silni - nie jestem pewna odpowiedzi.

Losowo wybieramy kule spośród 10-ciu i umieszczamy je w dwóch urnach. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że zarówno w jednej, jak i w drugiej urnie, będzie po 5 kul w każdej.

(Wiem, że wszystkich możliwości mamy 10!. Wydaje mi się, że w dowolny sposób możemy umieścić: 10!*9!*8!*7!*6!, a następne 5 w sposób taki, aby mieć pewność, że 5 kul znalazło się w jednej z dwóch urn. Czy dalsza część to 10!*9!*8!*7!*6!*1*1*1*1*1/10!?)

Proszę o pomoc.


tumor
postów: 8070
2016-09-08 14:40:18

Olaboga.

Silnia oznacza mnożenie, to chyba wiesz.
5!=5*4*3*2*1

Stosuje się ją w sytuacji szeregowania elementów w pewną kolejkę. Jeśli mamy 5 elementów, to wybór pierwszego miejsca w kolejce następuje na 5 sposobów, drugiego na 4 (wszak jeden element jest już w kolejce i nie używamy go ponownie), trzeciego na 3, czwartego na 2, a ostatni element już tylko na jeden sposób.
5*4*3*2*1.

-----


W tym zadaniu wiele zależy od tego, jak przebiega losowanie. Jeśli rzecz ma się tak: bierzemy kolejno dziesięć kul i w przypadku każdej kuli losujemy, czy wpadnie do urny A czy do urny B, to przypadek ten jest dokładnie taki sam, co gdybyśmy rzucali 10 razy monetą (i ostatecznie chcemy mieć 5 orłów i 5 reszek).

Jeśli 10 razy rzucamy monetą, to wszystkich wyników (ciągów orłów i reszek o długości 10) mamy $2^{10}$.

Ile natomiast mamy ciągów, w których jest dokładnie 5 orłów i 5 reszek?
Można je policzyć kombinacjami. ${10 \choose 5}$ oznacza dokładnie liczbę sposobów, na które możemy wybrać 5 miejsc w ciągu 10-elementowym, na których wstawimy orły (a w pozostałych reszki)
${10 \choose 5}=\frac{10!}{5!5!}$

Można skorzystać z permutacji z powtórzeniami.
Wszystkich permutacji, gdy mamy 10 elementów i ustawiamy je w kolejkę, jest 10!
Wyobraź sobie jednak, że masz 10 elementów (numerowanych od 1 do 10), ale 5 jest czerwonych, a 5 niebieskich. Można teraz przymknąć oko na numerki. Jeśli chcemy policzyć, na ile sposobów da się te elementy rozłożyć KOLORAMI (czyli choć początkowo braliśmy pod uwagę ich numerację, ale teraz przestajemy widzieć numery, a widzimy tylko kolory), zastosujemy wzór
$\frac{n!}{a!b!c!...}$ (gdzie a,b,c,.. są ilościami, w których występują kolory) czyli
$\frac{10!}{5!5!}$
zatem wynik taki sam jak z użyciem kombinacji.

Ogólnie prawdopodobieństwo wylosowania 5 orłów, gdy losujemy 10 razy monetą (czyli wrzucenia 5 kul do pierwszej urny, gdy przy każdej kuli losujemy urnę, gdzie tę kulę umieścić), wynosi

$\frac{\frac{10!}{5!5!}}{2^{10}}=\frac{6*7*8*9*10}{2*3*4*5*1024}$

-----



Jeśli wiemy, że kula ma 50% szans na wpadnięcie do urny A, możemy prawdopodobieństwo tego, że z 10 kul dokładnie 5 wpadnie do urny A liczyć ze schematu Bernoullego.

Wzór mówi, że prawdopodobieństwo to będzie równe
${10 \choose 5}(\frac{1}{2})^5(1-\frac{1}{2})^5$
co dokładnie odpowiada wcześniejszemu wynikowi.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj