Wyrażenia algebraiczne, zadanie nr 5936

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
pomarancza37 postów: 9	2016-11-12 12:51:46 Uzasadnij, że jeżeli liczby a, b, c są dodatnie i a + b + c = 2 to $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \ge 4 \frac{1}{2}$ Wiadomość była modyfikowana 2016-11-12 12:52:30 przez pomarancza37

pm12 postów: 493	2016-11-12 13:18:14 Przypuśćmy, że ta nierówność jest prawdziwa przy podanych założeniach. Będziemy przekształcać tę nierówność aż do uzyskania nierówności oczywistej. Więc : $\frac{1}{a} $ + $\frac{1}{b} $ + $\frac{1}{c} $ >= (9/2) \| * (a+b+c) (wiemy, że (a+b+c) jest dodatnie, więc znak nierówności się nie zmieni) ($\frac{1}{a} $ + $\frac{1}{b} $ + $\frac{1}{c} $)(a+b+c) >= (9/2) * (a+b+c) Teraz przypominamy sobie, że a+b+c=2. Zastosujemy tę równość, ale tylko do prawej strony nierówości. ($\frac{1}{a} $ + $\frac{1}{b} $ + $\frac{1}{c} $)(a+b+c) >= 9 Rozpisując lewą stronę nierówności, mamy 1 + $\frac{b}{a}$ + $\frac{c}{a}$ + 1 + $\frac{a}{b}$ + $\frac{c}{b}$ + 1 + $\frac{a}{c}$ + $\frac{b}{c}$ >= 9 Nierówność możemy zapisać nieco inaczej : 3 + ($\frac{a}{b}$ + $\frac{b}{a}$) + ($\frac{c}{b}$ + $\frac{b}{c}$) + ($\frac{a}{c}$ + $\frac{c}{a}$) >= 9 Czyli ($\frac{a}{b}$ + $\frac{b}{a}$) + ($\frac{c}{b}$ + $\frac{b}{c}$) + ($\frac{a}{c}$ + $\frac{c}{a}$) >= 6 I mamy co trzeba, bo każda suma w pojedynczym nawiasie jest większa bądź równa 2. Dla ustalenia uwagi, pokażę, że ($\frac{a}{b}$ + $\frac{b}{a}$) >= 2 (resztę dowodzi się tak samo) Chcemy pokazać, że dla a,b > 0 zachodzi ($\frac{a}{b}$ + $\frac{b}{a}$) >= 2 (znowu, załóżmy, że ta nierówność zachodzi i przekształćmy ją do nierówności oczywistej) Więc ($\frac{a}{b}$ + $\frac{b}{a}$) >= 2 \| * (ab) $a^{2}$ + $b^{2}$ >= 2ab $a^{2}$ + $b^{2}$ - 2ab >= 0 $(a-b)^{2}$ >= 0, co już jest oczywiste (kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny) Wiadomość była modyfikowana 2016-11-12 13:33:57 przez pm12

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj