logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - szkoła ponadpodstawowa » zadanie

Prawdopodobieństwo, zadanie nr 5941

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

maciejo117
postów: 2
2016-11-13 15:49:33

Pomoże ktoś w tym zadanku i wytłumaczy? Rachunek prawdopodobieństwa to dla mnie czarna magia.
Mamy dane trzy jednakowe urny. W każdej z nich znajdują się 3 kule białe oraz 2 kule czarne. Z każdej urny losujemy jedną kulę i wkładamy jej do czwartej, pustej urny. Następnie z czwartek urny losujemy jedną kulę. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że będzie to kula biała.



janusz78
postów: 820
2016-11-13 17:41:55

Model doświadczenia losowego, polegającego na:

-losowaniu po jednej kuli z każdej z trzech urn zawierających 3 kule białe i 2 kule czarne i ich włożenie do czwartej urny- etap I

- losowaniu kuli z czwartej urny - etap II

Etap I

$ \Omega_{i} =\left\{b, c\right\}, i =1,2,3.$

$ P_{i}(b) =\frac{3}{5}, P_{i}(c)=\frac{2}{5}, i=1,2,3.$

Etap II

$ \Omega_{4} = \left\{(bbb), (bbc), (bcb), (cbb), (bcc), (cbc), (ccb), (ccc)\right\}.$

$P(bbb) = \frac{3}{5}\cdot \frac{3}{5}\cdot \frac{3}{5}=\frac{27}{125},$

$ P(bbc)=\frac{18}{125},$

$ P(bcb)=\frac{18}{125},$

$ P(cbb)=\frac{18}{125},$

$ P(bcc)=\frac{12}{125}.$

$P(cbc) =\frac{12}{125},$

$P(ccb) =\frac{12}{125},$

$P(ccc) =\frac{8}{125}.$

$B$ - zdarzenie wylosowanie kuli białej z czwartej urny:

$ P(B)= \frac{27}{125}\cdot 1+\frac{18}{125}\cdot \frac{2}{3} +\frac{18}{125}\cdot \frac{2}{3} +\frac{18}{125}\cdot \frac{2}{3}+ \frac{12}{125}\cdot \frac{1}{3}+ \frac{12}{125}\cdot \frac{1}{3}+\frac{12}{125}\cdot \frac{1}{3} + \frac{8}{125}\cdot 0.$

$P(B) = \frac{27}{125}\cdot 1 + \frac{18}{125}\cdot 2 + \frac{12}{125}\cdot 1 + \frac{8}{125}\cdot 0 = \frac{75}{125}= \frac{3}{5}.$

Realizując doświadczenie losowe należy oczekiwać, że w $ 60\% $ ogólnej liczby wyników - wylosujemy kulę białą.

Proponuję na przykład książkę:

Tadeusz Gerstenkorn, Tadeusz Śródka, Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa. Strony 111-120. Wydanie IV. PWN Warszawa 1978.


Wiadomość była modyfikowana 2016-11-13 17:57:05 przez janusz78

janusz78
postów: 820
2016-11-13 19:02:39

Zauważmy, że $ P(b) = P(B) $ prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej z każdej z urn 1,2,3 jest takie same jak prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej po realizacji dwuetapowego doświadczenia losowego. Nie jest to wynik przypadkowy, ponieważ każda z urn zawiera taki sam skład kul. Włożenie ich z każdej z urn 1,2,3 do urny 4 ma taki sam efekt (takie same prawdopodobieństwo) na końcowy wynik jak przełożenie ich tylko z jednej urny.

Ale jak pisze Pan Prof. Lech, Tadeusz Kubik - "jednym z głównych zadań rachunku prawdopodobieństwa jest modelowanie wieloetapowych doświadczeń losowych zgodnych z ich opisem"

Wiadomość była modyfikowana 2016-11-13 19:13:21 przez janusz78
strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj