logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - szkoła ponadpodstawowa » zadanie

Planimetria, zadanie nr 5975

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

maciejo117
postów: 2
2016-12-11 18:19:19

Witam, proszę o pomoc i ewentualne wskazówki do tego oto zadania:
Trójkąt ABC jest wpisany w okrąg. Przez punkt A poprowadzono styczną do okręgu, a przez punkt B prostą równoległą do tej stycznej. Prosta ta przecina prostą zawierającą bok AC w punkcie D. Wykaż, że długość boku AB jest średnią geometryczną długości odcinków AC i AD.


rockstein
postów: 33
2016-12-15 16:22:31

Niestety nie mam czasu na sporządzenie rysunku, więc śledzący rozumowanie proszony jest sporządzić i uzupełniać własny szkic postępując zgodnie ze wskazówkami w moim tekście.

Weźmy trójkąt ostrokątny ABC i opiszmy na nim okrąg o środku O. Kąt przy wierzchołku A to $\alpha$, kąt przy wierzchołku B to $\beta$, kąt przy wierzchołku C to 180 - ($\alpha$ + $\beta$). Połączmy punkt O z wierzchołkami A, B, C. Otrzymamy trzy trójkąty równoramienne o ramionach równych promieniowi okręgu opisanego. Z wierzchołka A wyprowadźmy prostą p, styczną do okręgu, która będzie oczywiście prostopadła do promienia OA. Oznaczmy przez $\delta$ kąt OAB oczywiście równy kątowi OBA w trójkącie OAB. Analogicznie kąty OBC i OCB przy podstawie BC trójkąta OBC wynoszą: $\beta$ - $\delta$. Analogicznie dla trójkąta OAC kąty przy podstawie wynoszą $\angle$OCA = $\angle$OAC = $\alpha$ - $\delta$. Teraz z wierzchołka B reójkąta ABC prowadzę prostą q równoległą do prostej p. Przecina ona przedłużenie boku AC w punkcie D. Rozpatrując z kolei kąty trójkąta BCD otrzymamy: $\angle$DCB = $\alpha$ + $\beta$, $\angle$CBD = 90 - $\beta$ - $\delta$, $\angle$BDC = 90 - $\alpha$ + $\delta$. Wyrażając kąt przy wierzchołku C jako sumę określonych powyżej kątów $\angle$ACO i $\angle$BCO otrzymuję: $\angle$ACB = $\alpha$ - $\delta$ +$\beta$ - $\delta$, skąd: $\alpha$ + $\beta$ - 2*$\delta$ = 180 - ($\alpha$ + $\beta$). Z tej ostatniej zależności wyliczam $\delta$ = $\alpha$ +$\beta$ - 90. Podstawiając tę wartość do wyliczonej wyżej wielkości $\angle$BDC otrzymuję $\angle$BDC = $\beta$. Wynika stąd, że trójkąty ABC i ABD są podobne (cecha k,k,k).
Zatem AB/AC = AD/AB, skąd bezpośrednio wynika teza: (AB)^2 = (AC)*(AD).

W przypadku trójkąta ABC rozwartokątnego, gdy punkt O leży na zewnątrz obrysu trójkąta, rozumowanie przebiega analogicznie.

Wiadomość była modyfikowana 2016-12-15 21:29:57 przez rockstein
strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj