Równania i nierówności, zadanie nr 71
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
| roger postów: 4 |  2010-04-15 12:05:23Dla jakich wartości parametru m różnica pierwiastków równania (m-2)x^2 - (m-4)x - 2 = 0 wynosi 3? |
| zorro postów: 106 | 2010-04-17 08:19:49 $a=m-2$ $b=-(m-4)=(4-m)$ $c=-2$ Warunki rozwiązania: 1. $a\neq0 \iff m\neq2$ 2. $\Delta>0$ $b^{2}-4ac>0$ $(4-m)^{2}-4(m-2)(-2)=16-8m+m^{2}+8m-16>0$ $m^{2}>0 \iff m\neq0$ Rozwiązanie: W treści zadania jest mowa tylko o różnicy pierwiastków. Ponieważ nie jest sprecyzowane czy chodzi o $x_{1}-x_{2}$ czy $x_{1}-x_{2}$, musimy rozważyć obie możliwości najlepiej posługując się bezwzględną wartością: $|x_{1}-x_{2}|=3$ Wiadomo,że $|x_{1}-x_{2}|=\sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2}}$ Jednocześnie $(x_{1}-x_{2})^{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-2x_{1}x_{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+2x_{1}x_{2}-4x_{1}x_{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}$ Podstawiając wzory Vietty w miejsce sumy i iloczynu otrzymamy $(x_{1}-x_{2})^{2}=(\frac{-b}{a})^{2}-4\frac{c}{a}=\frac{b^{2}}{a^{2}}-\frac{4ac}{a^{2}}=\frac{\Delta}{a^{2}}$ Więc $|x_{1}-x_{2}|=\frac{\sqrt{\Delta}}{\sqrt{a^{2}}}=\frac{\sqrt{m^{2}}}{\sqrt{(m-2)^{2}}}=\frac{|m|}{|m-2|}=3$ $|m|-3|m-2|=0$ Rozpatrujemy 3 przypadki: 1. m<0 2. 0<m<2 3. m>2 1. Gdy $m$ i $m-2$ są jednocześnie ujemne: $-m-3[-(m-2)]=0$ $-m+3(m-2)=0$ $-m+3m-6=0$ $2m=6$ $m=3$ odrzucamy bo rozwiązanie nie leży w rozpatrywanym przedziale (m<0) 2. Gdy $m$ jest dodatnie, ale $m-2$ ujemne: $m-3[-(m-2)]=0$ $m+3(m-2)=0$ $4m=6$ $m=\frac{3}{2}$ Rozwiązanie to jest poprawne. Wówczas będzie $x_{1}=-1$ $x_{2}=-4$ co daje różnicę: $x_{1}-x_{2}= -1-(-4)=3$ 3. Gdy $m$ i $m-2$ są jednocześnie dodatnie: $m-3(m-2)=0$ $m-3m+6=0$ $-2m=-6$ $m=3$ Rozwiązanie to też jest poprawne. Wówczas będzie $x_{1}=-1$ $x_{2}=2$ co daje różnicę: $x_{2}-x_{1}= 2-(-1)=3$ Odp: Równanie ma dwa pierwiastki, których różnica wymosi 3 dla $m=\frac{3}{2}$ lub $m=3$. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj