Indukcja matematyczna, zadanie nr 842

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
slawus121 postów: 1	2011-08-04 19:48:19 Moja znajoma nie może poradzić sobie z pewnym zadaniem, byłbym wdzięczny za każdą pomoc, bo siedzimy nad tym już trochę i nie wychodzi... stosując zasadę indukcji matematycznej wykaż że: dla każdego n należącego do N+ 1/1 \cdot 3 + 1/3 \cdot 5 + 1/5 \cdot 7 + ... + 1/(2n-1)(2n+1) = n/2n+1

irena postów: 2636	2011-08-07 08:03:49 1. Niech n=1 Wtedy $L=\frac{1}{1\cdot3}=\frac{1}{3}$ $P=\frac{1}{2\cdot1+1}=\frac{1}{3}$ $L=P$ 2. $k\in N_+$ $Z.$ $\frac{1}{1\cdot3}+\frac{1}{3\cdot5}+...+\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\frac{k}{2k+1}$ $T.$ $\frac{1}{1\cdot3}+\frac{1}{3\cdot5}+...+\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}+\frac{1}{(2k+1)(2k+3)}=\frac{k+1}{2k+3}$ $D.$ $L=\frac{1}{1\cdot3}+\frac{1}{3\cdot5}+...+\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}+\frac{1}{(2k+1)(2k+3)}=\frac{k}{2k+1}+\frac{1}{(2k+1)(2k+3)}=\frac{k(2k+3)+1}{(2k+1)(2k+3)}=\frac{2k^2+3k+1}{(2k+1)(2k+3)}=\frac{(2k+1)(k+1)}{(2k+1)(2k+3)}=\frac{k+1}{2k+3}=P$ Ponieważ: 1. równość jest prawdziwa dla n=1 oraz 2. z prawdziwości tej równości dla dowolnej naturalnej dodatniej liczby k wynika prawdziwość równości dla liczby k+1 więc równość jest prawdziwa dla każdej dodatniej naturalnej liczby n. cbdo.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj