Planimetria, zadanie nr 845

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
kamilo postów: 2	2011-08-25 17:31:24 W trójkącie ABC ze środka każdego boku prowadzimy odcinki prostopadłe do dwóch boków. Wykaż że: a) Odcinki te przecinają się parami na wysokościach trójkąta ABC b) Odcinki poprowadzone do tego samego boku mają równe długości i długość każdego z nich równa się połowie długości odpowiedniej wysokości trójkąta Bardzo proszę chociaż o rysunek.

irena postów: 2636	2011-08-26 18:30:24 a) Narysuj trójkąt ABC, a w nim wysokość CD. Zaznacz: - punkt K to środek boku AC - punkt L to środek boku BC Odcinek łączący środki boków trójkąta jest równoległy do trzeciego boku tego trójkąta i równy jego połowie. Takie twierdzenie poznałeś ma lekcji - wynika ono z twierdzenia Talesa i twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa. Tutaj - odcinek KL jest równoległy do boku AB. Stąd - wysokość CD, która jest prostopadła do AB musi być też prostopadła do KL. Punkt przecięcia odcinków CD i KL nazwij R. Odcinek CR jest prostopadły do KL, czyli jest jedną z wysokości trójkąta KLC. W trójkącie KLC narysuj wysokości KP i LQ. Wysokości trójkąta przecinają się w jednym punkcie, więc odcinki KP i LQ muszą przeciąć się na odcinku CR. Wniosek - odcinki KP i LQ przecinają się na wysokości trójkąta ABC. Pozostałe dowody są analogiczne. b) Trójkąty KLC i ABC są podobne, a ich boki są odpowiednio równoległe. Skala podobieństwa trójkąta KLC do trójkąta ABC jest równa $\frac{1}{2}$. (Trójkąty te są więc jednokładne. Środek tej jednokładności to punkt C, a skala jest równa $\frac{1}{2}$. Nie wiem, czy omawialiście już jednokładność, więc tę informację podaję na wszelki wypadek.) Odcinek KP musi być więc równy połowie wysokości trójkąta ABC opuszczonej na bok BC (z punktu A) i musi być równy połowie tej wysokości. Odcinek LQ musi być równoległy do wysokości trójkąta ABC opuszczonej z wierzchołka B i musi być równy połowie tej wysokości. Pozostałe dowody są analogiczne. Wiadomość była modyfikowana 2011-08-26 18:37:09 przez irena

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj