Planimetria, zadanie nr 86

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
zawisza1991 postów: 2	2010-04-23 20:24:15 1.Narysuj okrąg: x^2 + y^2 - 8x - 6y - 4 = 0 Chodzi mi tylko o wyliczenie danych (a, b, r), tzn. bez rysunku. 2.Na okręgu o promieniu 4 opisano prostokątny trójkąt równoramienny. Oblicz pole tego trójkąta. 3.Ile punktów wspólnych ma prosta x-y=0 z okręgiem (x - 2)^2 + (y - 4)^2 = 16 (Gdzie "^" to do potęgi) Mógłby mi ktoś pomóc w rozwiązaniu tych zadań z omówieniem co jest wykonywane? Czy jest jakaś uniwersalna metoda na rozwiązywaniu tego typu zadań? Jeśli tak, to gdzie się więcej, na ten temat dowiem.

zorro postów: 106	2010-04-24 07:42:50 1. Zacznijmy od okręgu. Równanie ogólne okręgu to: $x^{2}+y^{2}-2ax-2ay+c=0$ $a,b$ to współrzędne środka, zaś $c=a^{2}+b^{2}-r^{2}$ W zadaniu mamy: $-2a=-8 \Rightarrow a=4$ $-2b=-6 \Rightarrow b=3$ $c=-4 \Rightarrow a^{2}+b^{2}-r^{2}=-4$ $4^{2}+3^{2}-r^{2}=-4$ $r^{2}=29 \Rightarrow r=\sqrt{29}\approx5.39$ Trzeba więc narysować okrąg o środku (4,3) i promieniu $\sqrt{29}$, czyli nieco mniej niż 5.4. (Gdybym ja układał to zadanie byłoby to równanie $x^{2}+y^{2}-8x-6y-24=0$ wówczas promień wychodzi 7.)

zorro postów: 106	2010-04-24 08:25:25 2. Spróbujmy bez rysunku, choć trudniej będzie wyjaśnić. Trójkąt prostokątny, równoramienny to po prostu przecięty po skosie kwadrat. Okrąg o promieniu 4 jest w środku i styka się z bokami tego trójkąta. Aby znaleźć pole możemy obliczyć długość podstawy i wysokość trójkąta. Wysokość trójkąta poprowadzona z przeciwprostokątnej przechodzi przez środek okręgu. Odległość od przeciwprostokątnej do środka okręgu to promień $r$, zaś odległość od środka okręgu do wierzchołka leżącego naprzeciwko przeciwprostokątnej to $\sqrt{2}r$ (przekątna małego kwadratu o boku r i rogu w środku okręgu. Więc wysokość trójkąta h wynosi: $h=r+\sqrt{2}r=(\sqrt{2}+1)r$ Ponieważ trójkąt jest równoramienny o kącie ostrym równym $45^{\circ}$ to podstawa będzie 2x większa od wysokości: $c=2\cdot(\sqrt{2}+1)r$ Pole: $P=\frac{1}{2}c\cdoth = \frac{1}{2}2(\sqrt{2}+1)r\cdot(\sqrt{2}+1)r=(1+\sqrt{2})^{2}\cdotr^{2}=(3+2\sqrt{2})r^{2}$ Pozostaje podstawić 4 za promień: $P=(2\sqrt{2}+3)4^{2}=16(3+2\sqrt{2})$

zorro postów: 106	2010-04-24 08:57:01 3. Rozwiązujemy układ równań $\left\{\begin{matrix} x-y=0 \\ (x-2)^{2}+(y-4)^{2}=16 \end{matrix}\right.$ Z pierwszego mamy $y=x$. Wstawiamy x do drugiego w miejsce y. $(x-2)^{2}+(x-4)^{2}=16 $ $x^{2}-4x+4+x^{2}-8x+16=16$ $2x^{2}-12x+4=0$ $x^{2}-6x+2=0$ $\Delta=(-6)^{2}-4\cdot2=36-8=28$ Już teraz możemy odpowiedzieć, że są dwa punkty wspólne, bo $\Delta\gt0$. Szukając konkretnych wartości liczymy dalej: $\sqrt{\Delta}=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$ $x_{1}=\frac{6-2\sqrt{7}}{2}=3-\sqrt{7}$ $x_{2}=\frac{6+2\sqrt{7}}{2}=3+\sqrt{7}$ Z kolei podstawiając te rozwiązania do równania prostej y=x znajdujemy odpowiadające im $y_{1} i y_{2}$ $y=x$ $y_{1}=x_{1}=3-\sqrt{7}$ $y_{2}=x_{2}=3+\sqrt{7}$ Punkty przecięcia to: $(x_{1},y_{1})=(3-\sqrt{7},3-\sqrt{7})$ oraz $(x_{2},y_{2})=(3+\sqrt{7},3+\sqrt{7})$ Generalnie w zadaniach tego typu chodzi o znajomość wzorów. Trzeba wyryć na pamięć równanie okręgu, wzory na obliczanie trójkątów, promień okręgu opisanego i wpisanego, równanie drugiego stopnia itp. W zadaniu 3 zawsze rozwiązujemy układ równań przez sprowadzenie do równania z jedną niewiadomą. Stopień równania określa max. możliwą ilość rozwiązań (punktów przecięcia). Dla równania kwadratowego mogą być 2 rozwiązania($\Delta>0$), 1 rozwiązanie ($\Delta=0$) lub brak rozwiązań $\Delta<0$).

zawisza1991 postów: 2	2010-04-24 18:55:28 Dzięki bardzo!

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj