Trygonometria, zadanie nr 90
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
elaoela postów: 2 | 2010-05-04 18:49:55 sin2x < -1/2 i x nalezy do <0, 2 pi > pomoze ktos ? :p |
zorro postów: 106 | 2010-05-06 06:31:03 Przyjmijmy pomocniczą niewiadomą $\alpha=2x$ $\alpha$ jest 2 razy większe od x więc $\alpha\in<0,4\pi>$ Mamy nierówność $\sin\alpha<-\frac{1}{2}$ Rysujemy wykres sinusa w przedziale od 0 do $4\pi$ Będą to 2 pełne okresy sinusoidy. Teraz rysujemy linię poziomą $y=-\frac{1}{2}$ Linia ta przetnie ten wykres w 4 punktach. Aby znaleźć odpowiadające tym punktom kąty $\alpha$rozwiązujemy równanie $\sin\alpha=-\frac{1}{2}$ $\sin\alpha=-sin(\frac{\pi}{6})$ $\sin\alpha=sin(-\frac{\pi}{6})$ więc $\alpha=-\frac{\pi}{6}+2k\pi$ lub $\alpha=\pi-(-\frac{\pi}{6})+2k\pi=\frac{7}{6}\pi+2k\pi$ podstawiamy kolejno k=0,1,2 Dla k=0 $\alpha_{0}=-\frac{\pi}{6} \notin <0,4\pi>$ - odrzucamy lub $\alpha_{1}=\frac{7}{6}\pi$ Dla k=1 $\alpha_{2}=-\frac{\pi}{6}+2\pi=\frac{11}{6}\pi$ lub $\alpha_{3}=\frac{7}{6}\pi+2\pi=\frac{19}{6}\pi$ Dla k=2 $\alpha_{4}=-\frac{\pi}{6}+4\pi=\frac{23}{6}\pi$ lub $\alpha_{5}=\frac{7}{6}\pi+4\pi > 4\pi$ - odrzucamy Wszystkie inne rozwiązania nie leżą w rozpatrywanym przedziale Teraz z wykresu widać, że jego część jest poniżej linii $-\frac{1}{2}$ dla $\alpha\in(\frac{7}{6}\pi,\frac{11}{6}\pi)\cup(\frac{19}{6}\pi,\frac{23}{6}\pi)$ Teraz wracamy do niewiadomej x $x=\frac{\alpha}{2}$ więc dzieląc obliczone wartości przez 2 otrzymamy $x\in(\frac{7}{12}\pi,\frac{11}{12}\pi)\cup(\frac{19}{12}\pi,\frac{23}{12}\pi)$. Wiadomość była modyfikowana 2010-05-08 20:36:45 przez zorro |
strony: 1 |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj