Liczby rzeczywiste, zadanie nr 900

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
annulka postów: 30	2011-10-12 20:32:27 Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n liczba $\frac{n}{3}+\frac{n^{2}}{2}+\frac{n^{3}}{6}$ jest całkowita. Wiadomość była modyfikowana 2011-10-12 20:34:13 przez jarah

irena postów: 2636	2011-10-13 09:58:26 $\frac{n}{3}+\frac{n^2}{2}+\frac{n^3}{6}=\frac{n^3+3n^2+2n}{6}=\frac{n(n^2+3n+2)}{6}=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}$ Licznik tego ułamka to iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych. Wśród trzech kolejnych liczb całkowitych co najmniej jedna jest podzielna przez 2 (bo co druga jest parzysta) oraz jedna liczba podzielna przez 3 (bo co trzecia dzieli się przez 3). Iloczyn takich liczb dzielić się musi więc przez $2\cdot3=6$. Zatem - liczba n(n+1)(n+2) jest całkowitą wielokrotnością liczby 6. Czyli n(n+1)(n+2)=6k, gdzie k to liczba całkowita. Liczba $\frac{n}{3}+\frac{n^2}{2}+\frac{n^3}{6}=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}=\frac{6k}{6}=k$ jest liczbą całkowitą.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj