logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - szkoła ponadpodstawowa » zadanie

Liczby rzeczywiste, zadanie nr 900

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

annulka
postów: 30
2011-10-12 20:32:27

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n liczba $\frac{n}{3}+\frac{n^{2}}{2}+\frac{n^{3}}{6}$ jest całkowita.

Wiadomość była modyfikowana 2011-10-12 20:34:13 przez jarah

irena
postów: 2636
2011-10-13 09:58:26

$\frac{n}{3}+\frac{n^2}{2}+\frac{n^3}{6}=\frac{n^3+3n^2+2n}{6}=\frac{n(n^2+3n+2)}{6}=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}$

Licznik tego ułamka to iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych.
Wśród trzech kolejnych liczb całkowitych co najmniej jedna jest podzielna przez 2 (bo co druga jest parzysta) oraz jedna liczba podzielna przez 3 (bo co trzecia dzieli się przez 3).
Iloczyn takich liczb dzielić się musi więc przez $2\cdot3=6$.
Zatem - liczba n(n+1)(n+2) jest całkowitą wielokrotnością liczby 6. Czyli n(n+1)(n+2)=6k, gdzie k to liczba całkowita.
Liczba $\frac{n}{3}+\frac{n^2}{2}+\frac{n^3}{6}=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}=\frac{6k}{6}=k$ jest liczbą całkowitą.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj