Problem z pochodnymi

Autor	Wiadomość
kaszanba postów: 1	2014-04-04 20:03:29 Jakiś czas temu wkroczyłem w fascynujący świat pochodnych. Trudne do liczenia to to nie jest, więc jakoś dałem sobie radę. Jednak to, że umiem coś zrobić, nie oznacza jeszcze że rozumiem co właściwie robię. A mimo że zrozumieć się starałem, me starania spełzły na niczym. A chodzi mi o to: pochodna to w uproszczeniu, szybkość przyrostu jakiejś funkcji w nieskończenie małym punkcie. No i właśnie, ten maciupki, nieskończenie mały "cóś" stanowi nieprzekraczalną, monumentalną barierę od której odbija się mój umysł, jak piłeczka pingpongowa od ośmio-metrowej, ołowianej ściany. Jak rozumiem, wyniki pochodnej są dokładne, żadne tam przybliżenia. A skoro tak, to niby jak z czegoś, czego nie da się dokładnie określić, a czym z całą pewnością jest nieskończenie mały punkt, można otrzymać dokładny wynik? Wyobraźni mi nie starcza. Znalazła by się może jakaś oświecona osoba, która by mi to jakoś łopatologicznie wyłożyła?

maciek1988 postów: 3	2014-04-13 21:19:35 No cóż, nie jestem matematykiem, co więcej wykształcenie mam humanistyczne, ale może się wypowiem :) Ja to rozumiem tak: jak coś może być nieskończenie małe? Pomyślmy. Jaka jest liczba pomiędzy 1, a 2? Na przykład 1.5, prawda? A pomiędzy 1.01, a 1.02? Na przykład 1.015, prawda? A pomiędzy 1.0000...1 a 1.0000...2? Na przykład 1.0000...15 :) Nieskończenie małe = tak małe, że aż nie da się znaleźć czegoś mniejszego. Tyle, że istnieje nieskończoność, więc zawsze można znaleźć coś mniejszego :) Niby paradoks. Ale nieskończenie mały punkt możemy rozumieć jako nieskończenie małą (czyli jakąkolwiek!) zmianę. "Nieskończenie mały punkt", czyli po prostu oddzielny. Trudno to zrozumieć, mi też, ale pomyślałem o Twoim poście i to, co do tej pory wymyśliłem napisałem tutaj :) Może razem do czegoś dojdziemy, a może jakiś zawodowy matematyk nam obu to wyjaśni :)

tumor postów: 8070	2014-04-13 21:52:45 Czytałem sobie niedawno Fichtenholza, podręcznik świetny, ale gdy autorzy wychwalają udział radzieckich naukowców w badaniach nad nieskończenie małymi, trzeba zachować dystans. Iloraz różnicowy $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ jest ułamkiem zrozumiałym, dla pewnych argumentów $x,x_0$ funkcja wyznacza dwa punkty, a ułamek to tangens nachylenia prostej przechodzącej przez te punkty do osi $ox$. Istnieją funkcje, w których gdy zmniejszamy różnicę między $x$ a $x_0$, iloraz zachowuje się nieregularnie, nie stwierdzamy szczególnych prawidłowości. Są natomiast takie funkcje, gdzie w miarę, jak odległość między $x$ i $x_0$ maleje, iloraz różnicowy zbliża się do pewnej szczególnej wartości. Ściślej mówiąc, można policzyć graniczny iloraz różnicowy, czyli $\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ Powtórzę, zależnie od funkcji granica ta istnieje lub nie. (Pewien śliczny wynik matematyczny mówi, że w pewnym sensie dla "większości" funkcji granica ta nie istnieje). Rachunek "nieskończenie małych" przydaje się, by pewne wahania oszacować jako niezagrażające ciekawym regularnościom. Natomiast nie przywiązywałbym się do tego określenia, jakby istniała jakaś konkretnie nieskończenie mała liczba. Proponuję traktować pochodną raczej w sensie procesu: co by się działo z ilorazem różnicowym (jako że chodzi o tangens, możemy pytać: co dzieje się z nachyleniem funkcji), gdybyśmy wybierali $x$ coraz bliższe ustalonemu $x_0$. Czy jakaś regularność się pojawi czy nie. ---- Przykład. Weźmy funkcję $f(x)=\left\{\begin{matrix} x \mbox{ dla x wymiernych} \\ -x \mbox{ dla x niewymiernych} \end{matrix}\right.$ I weźmy $x_0=0$, wtedy $f(x_0)=0$ Iloraz różnicowy przyjmuje postać $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\frac{f(x)}{x}$ i pomyślmy, co się dzieje z tym ilorazem różnicowym, gdy maleje odległość między $x$ a $x_0$, czyli gdy liczby $x$ są coraz bliższe $0$. Dla $x\neq 0$ wymiernych iloraz ma zawsze wartość $1$, dla niewymiernych zawsze $-1$, a dowolnie blisko zera znajdują się i liczby wymierne i niewymierne, zatem iloraz nie ustala się wokół jakiejś liczby. Inny przykład: $g(x)=\left\{\begin{matrix} x^2 \mbox{ dla x wymiernych} \\ -x^2 \mbox{ dla x niewymiernych} \end{matrix}\right.$ Funkcja jest chyba nie mniej dziwna niż ta z przykładu wcześniej. Teraz podobnie $x_0=0=g(x_0)$, a iloraz różnicowy $\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}=\frac{g(x)}{x}=\pm \frac{x^2}{x}=\pm x$ Wyrażenie to ma plus lub minus zależnie od tego, czy zbliżający się do zera $x$ jest liczbą wymierną czy niewymierną. Jednakże NIEZALEŻNIE OD TEGO, czy iloraz różnicowy w tym przypadku przyjmuje wartości dodatnie czy ujemne, im bliższe jest $x$ liczby $x_0=0$, tym wartości ilorazu bliższe są $0$. Nie ma tu znaczenia, czy przeskakujemy z liczb wymiernych na niewymierne i odwrotnie, w miarę zbliżania się "z dowolnej strony" czy "w dowolny sposób" do $x_0$ otrzymujemy ZAWSZE iloraz różnicowy zbliżający się do $0$. Ta regularność to istnienie granicy ilorazu różnicowego, czyli pochodnej. Funkcja $f$ z wcześniejszego przykładu nie była różniczkowalna (w $x_0=0$, ale tak naprawdę nie jest różniczkowalna nigdzie, w żadnym $x_0$ byśmy granicy ilorazu nie znaleźli), a funkcja $g$ jest różniczkowalna w $x_0=0$, inaczej mówiąc - ma tam pochodną. Nie dlatego, że coś się dzieje dla jakiejś "liczby nieskończenie małej", ale dlatego, że z miarę dowolnego zmniejszania różnicy $x$ i $x_0$ zaczyna się coś robić regularne. :)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj