logowanie

matematyka » forum » matematyka » temat

Liczby pierwsze na Złotej Spirali.

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorWiadomość

sylvi91
postów: 23
2019-07-02 04:24:21

Cześć.
Zastanowiło mnie połączenie ciągu Fibonacciego ze zbiorem liczb pierwszych.
Uznałem, że przeprowadzę eksperyment i wyrysuję programowo spiralę, a następnie naniosę liczby Fibonacciego oraz liczby Pierwsze.
Gdyby była już taka spirala komuś znana to całkiem dobrze się składa, bo to co ja zauważam może jest wiadome, ale nie było dla mnie jeszcze przed eksperymentem.

Otóż liczby pierwsze na spirali występują w bardzo losowy sposób, to jest pewne.
Przybywa ich pomiedzy kolejnymi wyrazami ciągu Fibonacciego, to jest pewne.

Z obserwacji wynika też coś takiego, że:
Suma liczb pierwszych na spirali pomiędzy kolejnymi wyrazami ciągu Fibonacciego podzielona przez ilość liczb pierwszych, a następnie podzielona przez większą liczbę Fibonacciego daje w przybliżeniu połowę Złotej liczby Phi.
Wyjątkiem jest początek spirali, gdzie wartości są równe 1.
Czyli zbiór jest w pewnym sensie związany ze złotą spiralą w ten sposób. Czy może to zbyt naciągany wniosek?

Proszę zarkąć na obrazek okna aplikacji, w której rysowałem spiralę i nanosiłem liczby pierwsze.
Zrobiłem kilka zrzutów.


1:

2:

3:



Na tych zrzutach ekranu powinno być widać spiralę. Liczby pierwsze w zasadzie widać tylko na pierwszym zrzucie. Dalej liczby zostały wyłączone, a jedynie ciut wieksze kropeczki od linii spirali są trochę widoczne. Ale mamy dane o tych liczbach.
Istotną rzeczą jest wartość przy zmiennej AVG/F, która pokazuje średnią liczb pierwszych podzieloną przez liczbę Fibonacciego, także ilość liczb pierwszych QTY w przedziale pomiędzy liczbami Fibonacciego, czyli w polu danego kwadratu.

Gdyby ktoś był zainteresowany zabawą z aplikacją, która rysuje ta spiralę, to mogę udostępnić w następnym wpisie. Jest to miniaturowy programik, ale trochę wymagający pod względem mocy sprzętowej. Może działać zarówno na Windows jak i Linux.

To na razie tyle. Dzięki za dotrwanie do końca i pozdrawiam.




sylvi91
postów: 23
2019-07-04 20:11:07


Założenie z powyższej wiadomości zacząłem sprawdzać dla większych wartości.
Mam wyprowdzoną formułę dla liczb pierwszych. Jest ona zupełnie nowa dla mnie... i pewnie dla wielu innych pasjonatów teorii liczb. Przynajmniej ja wcześniej o takiej nie słyszałem.

Oto jej postać:

$SP=1/2*Phi$

$SP= (((P1+P2+...+Pn)) / QP)/GF$

Gdzie:

$SF < Pn <= GF$

$P1, P2, Pn$ - są to liczby pierwsze
$SF$ - mniejsza wartość ciągu Fibonacciego (dolna granica zbioru)
$GF$ - wieksza wartość ciągu Fibonacciego (górna granica zbioru)
$SP$ - suma liczb pierwszych w podzbiorze
$QP$ - ilość liczb pierwszych w podzbiorze
$Phi$ - Złota Liczba Phi 1.618...

Przykładowy listing obliczeń z programu do kalkulacji na liczbach pierwszych i Fibonacciego.

________________________________________________________________________
____________THAT APP IS CALCULATING THE PRIME NUMBERS SUBSETS___________
____________BETWEEN FIBONACCI AND FINDING APPROXIMATION_________________
____________TO THE GOLDEN NUMBER_PHI.___________________________________
_____________Author: Sylwester B aka Sylvi91____________________________
________________________________________________________________________
Fib(1) = 1 - Fib(2) = 1
Primes list:

Primes: Sum = 0 Qty = 0 Avg = 0.000000
Approximation to the The Golden Number Phi = 0.000000
________________________________________________________________________
Fib(2) = 1 - Fib(3) = 2
Primes list:
2
Primes: Sum = 2 Qty = 1 Avg = 2.000000
Approximation to the The Golden Number Phi = 2.000000
________________________________________________________________________
Fib(3) = 2 - Fib(4) = 3
Primes list:
3
Primes: Sum = 3 Qty = 1 Avg = 3.000000
Approximation to the The Golden Number Phi = 2.000000
________________________________________________________________________
Fib(4) = 3 - Fib(5) = 5
Primes list:
5
Primes: Sum = 5 Qty = 1 Avg = 5.000000
Approximation to the The Golden Number Phi = 2.000000
________________________________________________________________________
Fib(5) = 5 - Fib(6) = 8
Primes list:
7
Primes: Sum = 7 Qty = 1 Avg = 7.000000
Approximation to the The Golden Number Phi = 1.750000
________________________________________________________________________
Fib(6) = 8 - Fib(7) = 13
Primes list:
11 13
Primes: Sum = 24 Qty = 2 Avg = 12.000000
Approximation to the The Golden Number Phi = 1.846154
________________________________________________________________________
Fib(7) = 13 - Fib(8) = 21
Primes list:
17 19
Primes: Sum = 36 Qty = 2 Avg = 18.000000
Approximation to the The Golden Number Phi = 1.714286
________________________________________________________________________
Fib(8) = 21 - Fib(9) = 34
Primes list:
23 29 31
Primes: Sum = 83 Qty = 3 Avg = 27.000000
Approximation to the The Golden Number Phi = 1.588235
________________________________________________________________________
Fib(9) = 34 - Fib(10) = 55
Primes list:
37 41 43 47 53
Primes: Sum = 221 Qty = 5 Avg = 44.000000
Approximation to the The Golden Number Phi = 1.600000
________________________________________________________________________
Fib(10) = 55 - Fib(11) = 89
Primes list:
59 61 67 71 73 79 83 89
Primes: Sum = 582 Qty = 8 Avg = 72.000000
Approximation to the The Golden Number Phi = 1.617978
________________________________________________________________________
Fib(11) = 89 - Fib(12) = 144
Primes list:
97 101 103 107 109 113 127 131 137 139
Primes: Sum = 1164 Qty = 10 Avg = 116.000000
Approximation to the The Golden Number Phi = 1.611111
________________________________________________________________________
Fib(12) = 144 - Fib(13) = 233
Primes list:
149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233
Primes: Sum = 3223 Qty = 17 Avg = 189.000000
Approximation to the The Golden Number Phi = 1.622318
________________________________________________________________________
Fib(13) = 233 - Fib(14) = 377
Primes list:
239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373
Primes: Sum = 6989 Qty = 23 Avg = 303.000000
Approximation to the The Golden Number Phi = 1.607427
________________________________________________________________________
Fib(14) = 377 - Fib(15) = 610
Primes list:
379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 607
Primes: Sum = 18165 Qty = 37 Avg = 490.000000
Approximation to the The Golden Number Phi = 1.606557
________________________________________________________________________

... i dalej bez listowania liczb pierwszych, a tylko z wyliczeniem sumy oraz ilości i średniej i przyblizonej wartosci liczby Złotej.

Fib(15) = 610 - Fib(16) = 987
Primes: Sum = 43635 Qty = 55 Avg = 793.000000
Approximation to the The Golden Number Phi = 1.606890


Fib(16) = 987 - Fib(17) = 1597
Primes: Sum = 109567 Qty = 85 Avg = 1289.000000
Approximation to the The Golden Number Phi = 1.614277

Fib(19) = 4181 - Fib(20) = 6765
Primes: Sum = 1624217 Qty = 297 Avg = 5468.000000
Approximation to the The Golden Number Phi = 1.616556

Fib(27) = 196418 - Fib(28) = 31781
Primes: Sum = 2499980948 Qty = 9738 Avg = 256724.000000
Approximation to the The Golden Number Phi = 1.615577

....

Aktualnie ustawiłem aplikację do wyciągania Złotej Liczby ze zbiorów liczb pierwszych dla górnego przedziału do 44 liczby ciągu Fibonacciego, która ma wartość 701408733... komputer już oblicza którą godzinę i jeszcze pewnie sporo mu zostało do końca.
Co do algorytmu to może nie jest najszybszy, bo stosuję tablicę liczb pierwszych wyznaczoną metodą Sita Eratostenesa, a więc starożytny już algorytm... który mimo to sprawdza się w dobie komputerów.
Co do powiązania zbioru liczb pierwszych ze złotą spiralą i złotą liczbą to niewiele słyszałem do tej pory. A Wy?










masterkik
postów: 1
2020-05-16 20:08:40

Cześć,

Szukałem trochę innych informacji, trafiłem przypadkiem tu i postanowiłem się zarejestrować i odkopać temat.

Zrobiłem wizualizację (wykres excel)pierwszych ~65.5tyś liczb pierwszych na spirali r=e^fi (zapis biegunowy).
Po krótkich poszukiwaniach uznałem że mogłem sobie równie dobrze te liczby zaznaczyć na osi liczbowej i porzuciłem temat.

Ciąg Fibonacciego to jeden (pewnie pierwszy historycznie) przykład złotych ciągów i ma swoje wady.
Do podobnych poszukiwań raczej używałbym ciągu kolejnych potęg złotego Fi (który spełnia swoją drogą warunek Fn=Fn-1+Fn-2 a stosunek kolejnych wyrazów nie jest zbieżny do Fi tylko jest stale równy Fi).

Dlaczego to miałby być Fibonacci, a nie Lucca?
A może znajdziesz zasadę ogólną. Powodzenia! :)


sylvi91
postów: 23
2020-10-13 18:09:36

Żadnego związku liczb pierwszych z liczbami Lukasa i kolejnymi potęgami liczby Fi nie znalazłem jak dotąd.

Natomiast podzbiory liczb pierwszych, których granicami są kolejne liczby Fibonacciego mają taki związek opisany wyżej.

Lub też prawdopodobnie tak, jeśli nie pomyliłem oznaczeń Latexa.
$
\displaystyle{ SUMA = \sum_{i=1}^{n} a_{i} \approx \frac12 \Phi \approx \frac{ \frac{a_{1} + a_{2} + ... + a_{n}}{n}}{ fib(x) }}
$
$
\displaystyle{ fib(x-1) < a_{n} \le fib(x)}
$

Oto listing programu w C do obliczania tej zależności.
Aplikacja działa na 64 bitowych zmiennych.

#include <stdio.h>
#include <time.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>


#define Phi 1.618033988749895

#define BITS 8
#define PIECES 7

unsigned long long fib(int n) {
if ((n == 1) || (n == 2))
return 1;
else
return fib(n - 1) + fib(n - 2);
}



// sprawdz czy x jest pierwsza czy nie
unsigned long long ifnotPrime(char prime[], unsigned long long x)
{

return (prime[x/BITS] & (1 << ((x >> 1) & PIECES) ) );

}




// zaznacz odpowiedni bit wedlug indexu
unsigned long long makeComposite(char prime[], unsigned long long x)
{
prime[x/BITS] |= (1 << ((x >> 1) & PIECES)); /// ok for test fast ok

return 0;

}




int main( int argc, const char* argv[] )
{

time_t start;

time_t end; // Get the system time


int x;
int y;
unsigned long long i,j,k;

unsigned long long sum_p=0; /// suma liczb pierwszych
unsigned long long qty_p=0; ///qty liczb pierwszych w podzbiorze
unsigned long long limit; /// limit of primes from fib

unsigned long long subset_start=0; /// konieczne do właściwej iteracji

unsigned long long subset_end=1;
unsigned long long tempNumber=0;


double approx_phi;
double avg_p=0;

qty_p=0;

if ( argc == 3 )
{
x = atoi( argv[1] );
y = atoi( argv[2] );


time(&start); // Get the system time





if ((y>x) && (x>1))


{




printf("________________________________________________________________________\n");

printf("____________THAT APP IS CALCULATING THE PRIME NUMBERS SUBSETS___________\n");

printf("____________BETWEEN FIBONACCI AND FINDING APPROXIMATION_________________\n");

printf("____________TO THE GOLDEN NUMBER_PHI.___________________________________\n");

printf("_____________Author: Sylwester B aka Sylvi91____________________________\n");

printf("________________________________________________________________________\n");

printf(" Please wait for primes generator. Warning! For second argument f2 greater than 50 this may take couple minutes. Bigger f2 consume more and more memory.\n");





limit = fib(y); /// tylko raz oblicz wartosc fibo


char * prime;
prime = (char*) malloc(sizeof(char)*limit/BITS); // alokacja pamieci

if (prime==NULL) exit (1);

/// memset(prime, 0, sizeof(prime)); // zainicjiuj zerowymi wartosciam



// 2 jest ignorowane
// petla od 3
// Eratostoenes .



for (i = 3; i * i <= limit; i += 2) {


if (!ifnotPrime(prime, i))
for ( j = i * i, k = i << 1; j < limit; j += k)
makeComposite(prime, j);
}


// drukuj na ekranie jesli chcesz
// printf("2 ");
/*
// drukuj pozostale
for (int i = 3; i <= limit; i += 2)
if (!ifnotPrime(prime, i))
{
printf("%d ", i);
}
printf("\n");
*/




subset_start=fib(x-1); /// konieczne do rozpoczęcia właściwej iteracji ale tylko raz

subset_end=fib(x); ///w pętli już tylko szybciej poprzez dodawanie liczb




for (i=x;i<y;i++) /// główna pętla
{

/// fibo iteracja
tempNumber = subset_start;

subset_start = subset_end;

subset_end = tempNumber + subset_start;

/// zerowanie wartosci dla nowego zbioru
sum_p = 0;
qty_p = 0;
avg_p = 0;
approx_phi = 0;

/// wypisz
//printf("\n Fib(%llu) = %llu - Fib(%llu) = %llu ",i, subset_start,i+1,subset_end);

//printf("\n Primes list: \n");



for (j = subset_start+1; j <= subset_end; j+=2) /// Liczy co drugi element aby ominąć parzyste co daje 50% oszczędności
{




if (j%2 == 0) /// jeśli j podzielne prze 2 to dodaj jeden

{
j++;
}


if (!ifnotPrime(prime, j)) /// prime czy nie

{



/// printf(" %llu ",j); /// wypisz jak chcesz

sum_p += j;
qty_p += 1;



}





}

if (j>5)
{
avg_p = sum_p/qty_p;


///approx_phi = ((avg_p/subset_end) >> 1); /// przesunięcie bitowe zamiast mnożenia odpoda dla double
approx_phi = ((avg_p/subset_end) *2);

printf(" Fib(%llu) = %llu - Fib(%llu) = %llu SUM = %llu QTY = %llu AVG = %.2f Phi = %f\n",i,subset_start,i+1, subset_end, sum_p, qty_p, avg_p, approx_phi);

}
else

{
printf(" Fib(%llu) = %llu - Fib(%llu) = %llu SUM = %llu QTY = %u AVG = %.2f Phi = %f\n",i,subset_start,i+1, subset_end, i,1, 1.0, 1.0);


}



/// wypisz jak chcesz
/*
printf("\n");
printf(" Primes: SUM = %llu QTY = %llu AVG = %.2f \n", sum_p, qty_p, avg_p);



printf(" Approximation to the The Golden Number Phi = %f \n",approx_phi);
printf("________________________________________________________________________\n");
*/

//




}


free(prime); // zwolnij pamiec

time(&end); // czas zakonczenia



double dif;




dif = difftime (end,start); // ustal roznice
printf ("Your calculations took %.2lf seconds to run.\n", dif ); // wypisz







}

else

printf(" Simple usage: pn f1 f2 \n where f1 and f2 are Fibonacci words in sequence and f1 >= 1 and f2 > f1\n Warning! f2 should not exceed 50 otherwise you will reach memory limit.\n");





} // if

else
printf(" Simple usage: pn f1 f2 \n where f1 and f2 are Fibonacci words in sequence and f1 >= 1 and f2 > f1\n Warning! f2 should not exceed 50 otherwise you will reach memory limit.\n");


return 0;

}

Więcej wyników.

Fib(30) = 832040 - Fib(31) = 1346269 SUM = 40227359343 QTY = 36981 AVG = 1087784 Approx. to Phi = 1.6159979915
Fib(31) = 1346269 - Fib(32) = 2178309 SUM = 101931466309 QTY = 57909 AVG = 1760200 Approx. to Phi = 1.6161159872
Fib(32) = 2178309 - Fib(33) = 3524578 SUM = 257870996074 QTY = 90550 AVG = 2847829 Approx. to Phi = 1.6159829631
Fib(33) = 3524578 - Fib(34) = 5702887 SUM = 654441400687 QTY = 142033 AVG = 4607671 Approx. to Phi = 1.6159082233
Fib(34) = 5702887 - Fib(35) = 9227465 SUM = 1661677489343 QTY = 222855 AVG = 7456316 Approx. to Phi = 1.6161136347
Fib(35) = 9227465 - Fib(36) = 14930352 SUM = 4221069024488 QTY = 349862 AVG = 12064954 Approx. to Phi = 1.6161647093
Fib(36) = 14930352 - Fib(37) = 24157817 SUM = 10735109882717 QTY = 549903 AVG = 19521824 Approx. to Phi = 1.6161910656
Fib(37) = 24157817 - Fib(38) = 39088169 SUM = 27324559743219 QTY = 865019 AVG = 31588392 Approx. to Phi = 1.6162635809
Fib(38) = 39088169 - Fib(39) = 63245986 SUM = 69592739215201 QTY = 1361581 AVG = 51111714 Approx. to Phi = 1.6162832531
Fib(39) = 63245986 - Fib(40) = 102334155 SUM = 177416424882449 QTY = 2145191 AVG = 82704255 Approx. to Phi = 1.6163568263
Fib(40) = 102334155 - Fib(41) = 165580141 SUM = 452491851513992 QTY = 3381318 AVG = 133821146 Approx. to Phi = 1.6163912555
Fib(41) = 165580141 - Fib(42) = 267914296 SUM = 1155101203883449 QTY = 5334509 AVG = 216533743 Approx. to Phi = 1.6164403784
Fib(42) = 267914296 - Fib(43) = 433494437 SUM = 2949939781199270 QTY = 8419528 AVG = 350368783 Approx. to Phi = 1.6164857174
Fib(43) = 433494437 - Fib(44) = 701408733 SUM = 7539299522749130 QTY = 13298630 AVG = 566923023 Approx. to Phi = 1.6165268447
Fib(44) = 701408733 - Fib(45) = 1134903170 SUM = 19277443065477372 QTY = 21014892 AVG = 917322966 Approx. to Phi = 1.6165660477
Fib(45) = 1134903170 - Fib(46) = 1836311903 SUM = 49319944945730044 QTY = 33227992 AVG = 1484289058 Approx. to Phi = 1.6165979816
Fib(46) = 1836311903 - Fib(47) = 2971215073 SUM = 126244882484469729 QTY = 52565409 AVG = 2401672219 Approx. to Phi = 1.6166263027
Fib(47) = 2971215073 - Fib(48) = 4807526976 SUM = 323315442948007805 QTY = 83198799 AVG = 3886059015 Approx. to Phi = 1.6166561454
Fib(48) = 4807526976 - Fib(49) = 7778742049 SUM = 828390738449096336 QTY = 131744274 AVG = 6287869015 Approx. to Phi = 1.6166801715
Fib(49) = 7778742049 - Fib(50) = 12586269025 SUM = 2123542722014291259 QTY = 208718785 AVG = 10174181121 Approx. to Phi = 1.6167112114
Fib(50) = 12586269025 - Fib(51) = 20365011074 SUM = 5445740631692717113 QTY = 330797447 AVG = 16462462697 Approx. to Phi = 1.6167398718
Fib(51) = 20365011074 - Fib(52) = 32951280099 SUM = 13971588279376661576 QTY = 524513152 AVG = 26637250612 Approx. to Phi = 1.6167657543
Fib(52) = 32951280099 - Fib(53) = 53316291173 SUM = 35859516892843327174 QTY = 831993816 AVG = 43100701235 Approx. to Phi = 1.6167929271
Fib(53) = 53316291173 - Fib(54) = 86267571272 SUM = 92072211900316816991 QTY = 1320232935 AVG = 69739369060 Approx. to Phi = 1.6168154043
Your calculations took 918.00 seconds to run.
64.5 % from 8GB memory usage.


strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj