Równania różniczkowe

Autor	Wiadomość
marchewa112 postów: 2	2020-04-15 12:53:17 Witam wszystkich! Mam problem z rozwiązaniem równania różniczkowego: 1) $ x \frac{dy}{dx} = y ln\frac{y}{x}$ Sprawia mi ono wielką trudność i gubię się w środku zadania, więc jeśli ktoś mogłby pomóc to byłabym bardzo wdzięczna :) Wiadomość była modyfikowana 2020-04-17 13:42:30 przez marchewa112

chiacynt postów: 749	2020-04-17 20:42:44 $ x\frac{dy}{dx} = y\cdot ln\left(\frac{y}{x}\right),\ \ \frac{y}{x} > 0 $ $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}ln\left(\frac{y}{x}\right)\ \ (1)$ Jest to równanie różniczkowe zwyczajne - jednokładności. Stosujemy podstawienie $ \frac{y}{x} = u $ $ y = x\cdot u \ \ (2) $ Obliczamy pierwszą pochodną i podstawiamy do równania $ (1)$ $ y^{'}= u + xu^{'}$ $ u + xu^{'} = u \cdot ln(u)$ $ xu^{'} = u (ln(u) -1) $ Otrzymaliśmy równanie o zmiennych rozdzielonych. Rozdzielamy zmienne $ \frac{du}{u(ln(u)-1)} = \frac{1}{x}dx $ Całkujemy obustronnie $ \int \frac{du}{u(ln(u)-1)}= \int \frac{1}{x}dx $ $\int\frac{d(ln(u) -1)}{(ln(u)-1)} = \int \frac{1}{x}dx $ $ ln(ln(u)-1) = ln(x) + A $ $ ln(u) -1 = e^{ln(x) + A} $ $ ln(u) -1 = Ce^{ln(x)} = Cx, \ \ C = e^{A}=const $ $ ln(u) = Cx + 1 $ $ u = e^{Cx + 1}$ Z równania $ (2) $ $ y = xe^{Cx +1} $ Podstawiając $ y' = e^{Cx +1} + Cxe^{Cx+1} $ i $ y = e^{Cx +1} $ do równania (1) stwierdzamy, że lewa strona równania jest równa prawej jego stronie.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj