logowanie

matematyka » forum » matematyka » temat

Równania różniczkowe

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorWiadomość

marchewa112
postów: 2
2020-04-15 12:53:17

Witam wszystkich!
Mam problem z rozwiązaniem równania różniczkowego:
1) $ x \frac{dy}{dx} = y ln\frac{y}{x}$
Sprawia mi ono wielką trudność i gubię się w środku zadania, więc jeśli ktoś mogłby pomóc to byłabym bardzo wdzięczna :)

Wiadomość była modyfikowana 2020-04-17 13:42:30 przez marchewa112

chiacynt
postów: 749
2020-04-17 20:42:44

$ x\frac{dy}{dx} = y\cdot ln\left(\frac{y}{x}\right),\ \ \frac{y}{x} > 0 $

$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}ln\left(\frac{y}{x}\right)\ \ (1)$

Jest to równanie różniczkowe zwyczajne - jednokładności.

Stosujemy podstawienie

$ \frac{y}{x} = u $

$ y = x\cdot u \ \ (2) $

Obliczamy pierwszą pochodną i podstawiamy do równania $ (1)$

$ y^{'}= u + xu^{'}$


$ u + xu^{'} = u \cdot ln(u)$

$ xu^{'} = u (ln(u) -1) $

Otrzymaliśmy równanie o zmiennych rozdzielonych.

Rozdzielamy zmienne

$ \frac{du}{u(ln(u)-1)} = \frac{1}{x}dx $

Całkujemy obustronnie

$ \int \frac{du}{u(ln(u)-1)}= \int \frac{1}{x}dx $

$\int\frac{d(ln(u) -1)}{(ln(u)-1)} = \int \frac{1}{x}dx $

$ ln(ln(u)-1) = ln(x) + A $

$ ln(u) -1 = e^{ln(x) + A} $

$ ln(u) -1 = Ce^{ln(x)} = Cx, \ \ C = e^{A}=const $

$ ln(u) = Cx + 1 $

$ u = e^{Cx + 1}$

Z równania $ (2) $

$ y = xe^{Cx +1} $

Podstawiając

$ y' = e^{Cx +1} + Cxe^{Cx+1} $

i

$ y = e^{Cx +1} $

do równania (1) stwierdzamy, że lewa strona równania jest równa prawej jego stronie.



strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj