Zadania tekstowe, zadanie nr 1000

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
gadopa postów: 2	2017-10-28 02:46:12 Suma trzech liczb jest kwadratem. Sumy dwóch par liczb także są kwadratami a suma trzeciej pary to 31. Jakie to liczby?

gadopa postów: 2	2017-10-28 02:46:54 ?

rockstein postów: 33	2017-11-01 16:18:49 Oznaczmy szukane liczby jako a, b, c. Aby nieco uprościć sobie zadanie przyjmuję, że są to liczby naturalne, tj. dodatnie i całkowite. Z tekstu zadania wynika: a+b+c=m^2; a+b=n^2; a+c=p^2; b+c=31. Skoro a, b, c są liczbami naturalnymi, to m, n, p są także liczbami naturalnymi. Biorąc c=31-b (b musi być mniejsze od 31, bo c jest liczbą naturalną!) i podstawiając tę zależność do równania pierwszego i trzeciego otrzymuję układ: a+31=m^2; a+b=n^2; a-b=p^2-31.Przekształcam równanie pierwsze: a=m^2-31, skąd przy założeniu, że a jest l. naturalną musi być m=>6. Sumując równania drugie i trzecie: a=(p^2+n^2-31)/2. Porównując oba wyrażenia opisujące a otrzymuję: p^2+n^2=2*(m^2)-31 Biorąc najmniejszą możliwą wartość m=6 otrzymuję: p^2+n^2=41. Liczbę 41 można przedstawić jako sumę dwóch kwadratów tylko na jeden sposób, jako 25+16.Przy naszych założeniach (a, b, c, są l. naturalnymi) większy z tych kwadratów musi być mniejszy niż m^2= 36. Zatem równania wyjściowe będą miały zamiast parametrów m, n, p, konkretne wartości liczbowe: a+b+c=36; a+b=25; a+c=16; b+c=31. Po elementarnych przekształceniach otrzymuję: a=5; b=20; c=11. Łatwo sprawdzić, że liczby te spełniają warunki zadania. Gdy wezmę jako m kolejną liczbę naturalną, tj. m=7, otrzymam: p^2+n^2=67. Tej liczby nie da się przedstawić jako sumy dwóch kwadratów. Biorąc dalej m=8 otrzymuję: p^2+n^2=97. Tę liczbę da się przedstawić jako sumę dwóch kwadratów: 16+81, wówczas równania wyjściowe przekształcają się następująco: a+b+c=64; a+b=81; a+c=16; b+c=31. Rozwiązaniami tego układu są liczby: a=33; b=48; c=-17. Problem polega na tym, że otrzymane c<0 nie jest liczbą naturalną! Potwierdza się nasze zastrzeżenie sformułowane kilka wierszy wyżej, m>n; m>p; m^2>31.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj