logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Algebra, zadanie nr 1010

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

glupol
postów: 10
2013-02-03 20:03:52

Rozważamy podzbiór A={$(x_{1},x_{2},x_{3})\in R^{3}:x_{1}+x_{2}=0$}.
Wykazać,że (R,A,+,$\cdot$) jest podprzestrzenią liniową przestrzeni liniowej (R,$R^{3}$,+,$\cdot$). Wyznaczyć bazę {$v_{1},v_{2}$} tej podprzestrzeni, sprawdzić czy wektor w=(7,-7,3) należy do (R,A,+,$\cdot$) i zapisać go jako kombinacje liniową wektorów.


tumor
postów: 8070
2013-02-03 21:09:54

Weźmy $u,v\in A$ oraz $k\in R$

mamy $ku\in A$, bowiem $u=(x_{1u},x_{2u},x_{3u})$ i $x_{1u}+x_{2u}=0$, wtedy $ku=(kx_{1u},kx_{2u},kx_{3u})$ oraz $kx_{1u}+kx_{2u}=k(x_{1u}+x_{2u})=k0=0$

także $u+v\in A$, bowiem $u+v=(x_{1u},x_{2u},x_{3u})+(x_{1v},x_{2v},x_{3v})=(x_{1u}+x_{1v},x_{2u}+x_{2v},x_{3u}+x_{3v})$
oraz $x_{1u}+x_{1v}+x_{2u}+x_{2v}=0+0=0$

Zatem A jest podprzestrzenią liniową.
Bazą jest na przykład $\{v_1=(1,-1,0), v_2=(0,0,1)\}$ (wymiar podprzestrzeni $<3$, bo nasza podprzestrzeń jest podzbiorem właściwym przestrzeni, a wymienione wektory są liniowo niezależne, zatem stanowią bazę)

Wektor $w=(7,-7,3)$ należy do podprzestrzeni, bo $7+(-7)=0$.
$w=7v_1+3v_2$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj