Algebra, zadanie nr 102

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
canella20 postów: 7	2011-01-30 16:04:46 Niech e1,e2,e3,e4 będą liniowo niezależnymi wektorami przestrzeni X. W zależności od parametru p należącego do R określić wymier podprzestrzeni rozpiętej przez wektory: 2pe1-2e2+pe3+3e4, 4e1-pe2+2e3+(p+1)e4, 2e1-e2+e3+3e4

tumor postów: 8070	2012-10-11 13:22:26 Przestrzeń $X_1=lin(e_1,e_2,e_3,e_4)$ jest podprzestrzenią przestrzeni $X$ i ma wymiar $4$, bazą tej podprzestrzeni są wektory $e_1,e_2,e_3,e_4$. Kombinacje liniowe tych wektorów to inaczej wektory w tej bazie. Stwórzmy macierz współczynników: $\begin{array}{c} 2p&& -2&& p&& 3\\ 4&& -p&& 2&& (p+1)\\ 2&& -1&& 1&& 3\\ \end{array}$ Wymiar przestrzeni $X_2=lin(2pe_1-2e_2+pe_3+3e_4, 4e_1-pe_2+2e_3+(p+1)e_4, 2e_1-e_2+e_3+3e_4)$ jest równy rzędowi macierzy współczynników, maksymalnie będzie to oczywiście $3$. Żeby zbadać rząd macierzy przyjrzyjmy się minorom. Wyznacznik macierzy $\begin{array}{c} -2&& 3\\ -1&& 3\\ \end{array}$ jest niezerowy, zatem $2\le dimX_2\le 3$ Wyznacznik macierzy $\begin{array}{c} 2p&& -2&& 3\\ 4&& -p&& (p+1)\\ 2&& -1&& 3\\ \end{array}$ ma wartość $-6p^2-12-4(p+1)+6p+24+2p(p+1)=-4p^2+4p+8=-4(p+1)(p-2)$ Zatem jeśli $p$ jest różne od $-1$ i $2$ to rząd macierzy (i wymiar $X_2$) są równe $3$. Jeśli $p=2$, to widzimy, że pierwsze dwa wiersze są identyczne, czyli $dimX_2=2$. Jeśli $p=-1$ otrzymujemy macierz $\begin{array}{c} -2&& -2&& -1&& 3\\ 4&& 1&& 2&& 0\\ 2&& -1&& 1&& 3\\ \end{array}$ Zauważmy, że jeśli pierwszy wiersz dodamy dwukrotnie do drugiego, a jednokrotnie do trzeciego, dostaniemy: $\begin{array}{c} -2&& -2&& -1&& 3\\ 0&& -3&& 0&& 6\\ 0&& -3&& 0&& 6\\ \end{array}$ Zatem dla $p$ równego $-1$ lub $2$ wymiar wynosi $2$, dla pozostałych $p$ rzeczywistych wymiar wynosi $3$.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj