Algebra, zadanie nr 1051

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
elfishy postów: 6	2013-02-07 19:51:30 wyznacz 3 trzecie pierwiastki z liczby zespolonej z=1-i

tumor postów: 8070	2013-02-07 20:08:29 $z=1-i=\sqrt{2}(cos\frac{7\pi}{4}+isin\frac{7\pi}{4})$ Jeden pierwiastek to $\sqrt[3]{\sqrt{2}}(cos\frac{7\pi}{12}+isin\frac{7\pi}{12})=\sqrt[6]{2}(cos\frac{7\pi}{12}+isin\frac{7\pi}{12})$ Pozostałe dwa różnią się o kąt $120^\circ$ (raz go dodać, raz go odjąć). Wartości dla tych kątów są do policzenia, więc czasem nie bierz przybliżonych jak będziesz z postaci trygonometrycznej wracać do algebraicznej. ;)

elfishy postów: 6	2013-02-07 20:10:58 ale jak do tego doszedłeś? i jak te dwa dodać i odjąć? nie ogarniam w ogole

tumor postów: 8070	2013-02-07 20:30:22 Nie ogarniasz w ogóle. Wcześnie się bierzesz za naukę. Liczba zespolona ma interpretację geometryczną. To punkt na płaszczyźnie (lub wektor). Ten punkt/wektor (jeśli $z\neq 0$) wyznacza pewien kąt skierowany. Długość wektora, inaczej odległość liczby zespolonej od 0, to moduł liczby zespolonej oznaczany przez $\|z\|$. Używając tej interpretacji można liczbę zespoloną napisać w postaci trygonometrycznej. $z=\|z\|(cos\alpha +isin\alpha)$, gdzie $\alpha$ jest wspomnianym wyżej kątem. Jeśli sobie narysujesz liczbę 1-i w układzie współrzędnych, to z Tw. Pitagorasa policzysz (jeśli nie umiesz inaczej), że jej długość to $\sqrt{2}$. Natomiast kąt to $360^\circ-45^\circ$, czyli $\frac{7\pi}{4}$. Pierwiastki liczby zespolonej układają się dookoła 0 w równych odległościach. Jeśli to pierwiastki trzeciego stopnia, to są trzy, dlatego występują co $\frac{360^\circ}{3}=120^\circ=\frac{2}{3}\pi$. Długość wszystkich pierwiastków n-tego stopnia z liczby $z$ to $\sqrt[n]{\|z\|}$. Zatem wszystkie pierwiastki będą się zaczynać od $\sqrt[6]{2}$ (bo to ich długość), a potem będzie $(cos\beta+isin\beta)$. Kąt $\beta$ liczymy dzieląc $\alpha$ na 3 (bo trzeciego stopnia pierwiastek). Potem drugi pierwiastek dostajemy obracając o $\frac{2}{3}\pi$, a trzeci obracając raz jeszcze o $\frac{2}{3}\pi$. Ostatecznie pierwiastkami są $\sqrt[6]{2}(cos\frac{7\pi}{12}+isin\frac{7\pi}{12})$ $\sqrt[6]{2}(cos\frac{15\pi}{12}+isin\frac{15\pi}{12})$ $\sqrt[6]{2}(cos\frac{23\pi}{12}+isin\frac{23\pi}{12})$ wartości funkcji trygonometrycznych da się policzyć wzorami licealnymi, możesz je też wziąć stąd: http://www.math.edu.pl/wartosci-funkcji-trygonometrycznych

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj