Topologia, zadanie nr 1070

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
mat12 postów: 221	2013-02-11 11:40:54 1) W zbiorze $\mathbb{R}$ definiujemy topologię $\tau$ w następujący sposób: $A\in \tau\iff 1\notin A $ lub $ 0\in A$ A.Czy $(\mathbb{R},\tau)$ jest $T_{1}$-przestrzenią? B.Czy $(\mathbb{R},\tau)$ jest przestrzenią ośrodkową? C.Czy $\mathbb{Q}\in \tau\cap \sigma$ ? D.Czy $\tau$ zawężone do przedziału (1,2) jest topologią dyskretną? odpowiedzi to: A.nie B.nie C.tak D.tak 2) Rozważmy $(\mathbb{R},\tau_{n})$,gdzie $\tau_{n}$ oznacza topologię naturalną. Niech A= {$\frac{(-1)^k}{2^k};k\in \mathbb{N_{1}}$}$\cup ${$0$} , B= (0,1) \ {$\frac{1}{k}; k\in\mathbb{N_{2}}$}. A.Czy int A= $\emptyset$? B.Czy A jest zbiorem zwartym? C.Czy B jest zbiorem spójnym? D.Czy cl(B) jest zbiorem spójnym? odpowiedzi to: A.tak B.tak C.nie D.tak jest ktoś kto umiałby uzasadnić te odp(czemu tak a nie inaczej:)) bardzo proszę:) z góry dziękuję Wiadomość była modyfikowana 2013-02-11 13:37:25 przez mat12

tumor postów: 8070	2013-02-11 13:18:04 1. A. Dla $x=1, y=0$ nie da się znaleźć zbioru otwartego $U$ takiego, że $x\in U$ oraz $y\notin U$. Na pewno bowiem jeśli $x\in U$ to $1\in U$, skoro $U$ otwarty to $0\in U$, zatem $y\in U$. Nie jest spełniony warunek $T_1$ B. Pytamy, czy istnieje przeliczalny podzbiór w $R$, który jest gęsty w sensie tej topologii, czyli który po domknięciu da cały zbiór $R$. Niech $A\subset R$ będzie zbiorem przeliczalnym. Zbiór $B=A\cup\{1\}$ jest domknięty, bo $R\backslash B$ jest otwarty. Zarazem $B$ jest przeliczalny. Oraz $A\subset B$, czyli $cl A\subset cl B=B\neq R$. Nie istnieje zbiór przeliczalny, który jest gęsty. Inaczej to samo: Niech A będzie zbiorem przeliczalnym. Wówczas istnieje liczba rzeczywista $x$ różna od 1 taka, że $x\notin A$. Zbiór $\{x\}$ jest otwarty, bo $1\notin \{x\}$ i rozłączny z A, zatem A nie jest gęsty. Będziesz mieć tego więcej? Podstawy topologii są ciekawsze od podstaw algebry :P

tumor postów: 8070	2013-02-11 13:28:19 1. C. zdefiniuj $\sigma$. Nie definiować można jeśli się przez jakiś czas robi to samo na zajęciach, ale przedstawiając komuś pisz, co znaczą symbole. D. Weźmy $A\subset(1,2)$. $A\in \tau$, bo $1\notin A$. I tyle. Nie trzeba robić przekrojów, topologii dziedziczonej i innych dziwnych rzeczy, bo po prostu $P(A)\subset \tau$. 2. A. W topologii naturalnej na $R$ zbiory przeliczalne niepuste nie są otwarte. Niepusty zbiór otwarty można traktować jak sumę kul otwartych czy zbiorów bazowych (jak mieliście wprowadzaną topologię naturalną na $R$?), każdy taki zbiór jest nieprzeliczalny. W tym konkretnym przypadku można też pokazać, że w dowolnym otoczeniu dowolnego $x\in A$ znajdują się punkty spoza zbioru $A$.

tumor postów: 8070	2013-02-11 13:49:52 2. B. Jeśli $x=0$, to każde otoczenie V punktu x zawiera prawie wszystkie elementy zbioru A (wszystkie poza najwyżej skończoną ilością). W szczególności kule otwarte w metryce euklidesowej o środku w 0 i dowolnym dodatnim promieniu spełniają ten warunek. Jeśli P jest pokryciem otwartym zbioru A, to istnieje otwarty zbiór V taki, że $0\in V\in P$. Wówczas jedynie skończona ilość punktów $x$ należących do $A$ jest poza $V$, dla każdego z nich istnieje otoczenie $U_x\in P$. Otrzymujemy podpokrycie skończone. Jeśli zwartość była zdefiniowana inaczej, ciągami, to bierzemy dowolny ciąg elementów z A i pokazujemy, że albo istnieje podciąg stały (zbieżny), albo istnieje podciąg zbieżny do 0 (też, oczywiście, zbieżny :P). C. mamy $x_0=\frac{1}{13101307}\notin B$ Zbiory $(0,x_0)$ i $(x_0,1)$ są domknięto-otwarte w B. D. Weźmy $x=\frac{1}{k}$, $k\in N_1$ (zauważ, nie wziąłem $N_2$) Wtedy dowolne otoczenie punktu $x$ zawiera elementy zbioru $B$, czyli $x\in cl B$. Podobnie się dzieje, jeśli $x=0$. Zatem $B\subset [0,1]\subset cl B$, oraz $[0,1]$ domknięty, czyli $[0,1]=cl B$, a to zbiór spójny

mat12 postów: 221	2013-02-11 14:19:18 ogromnie dziękuję.tak się składa że będę miała jeszcze trochę takich zadań:)

mat12 postów: 221	2013-02-11 17:23:02 w 1) C. $\sigma$ oznacza rodzinę zbiorów domkniętych w topologii (tutaj ($\mathbb{R},\tau$))

tumor postów: 8070	2013-02-11 17:29:40 C. $0\in Q$, zatem $Q$ jest otwarty, $Q\in \tau$ Zarazem jednak $1\in Q$, czyli $1\notin R\backslash Q$, czyli $R\backslash Q$ otwarty, czyli $Q$ domknięty. Stąd $Q$ otwarto-domknięty (symbolicznie $Q \in \tau \cap \sigma$)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj