Topologia, zadanie nr 1072

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
mat12 postów: 221	2013-02-11 16:20:36 Niech f: $x\in \mathbb{R}(\tau)\rightarrow 2x\in \mathbb{R}(\tau')$ i niech t ={$\emptyset$}$\cup${$A\subset \mathbb{R} ; \mathbb{R}\backslash A $ jest co najwyżej skończony}. A.Czy jeśli $\tau=\tau_{n}$ i $\tau'$={$\mathbb{R},\emptyset$}$\cup${$(-n,n): n\in \mathbb{N_{1}}$} , to f jest ciągła? B.Czy jeśli $\tau=t$ i $\tau'=\tau_{n}$ , to f jest ciągła? C.Czy jeśli $\tau=\tau_{n}$ i $\tau'=t$ , to f jest ciągła? D.Czy jeśli $\tau=\tau'=t$ , to f jest ciągła? odpowiedzi to: A.tak B.nie C.tak D.tak proszę o wytłumaczenie czemu takie odpowiedzi:)

tumor postów: 8070	2013-02-11 16:49:50 No może spróbuj w tych zadaniach podać jakieś własne wyjaśnienia? Przy okazji uzupełnij w jednym miejscu poprzednie zadania (gdzie poprosiłem o zdefiniowanie jednej rzeczy) i to zadanie. Nie napisałaś, co to $\tau_n$. Czy topologia naturalna? Najprostszy warunek ciągłości to "przeciwobraz zbioru otwartego jest otwarty" (równoważnie "przeciwobraz zbioru domkniętego jest domknięty). Na przykład w A. Bierzesz sobie zbiór otwarty w sensie topologii $\tau`$. Jeśli ten zbiór to $\emptyset$, to jego przeciwobraz to oczywiście też $\emptyset$, sprawdzasz czy jest otwarty w topologii $\tau$. (jest). Jeśli to $R$, to przeciwobraz też jest $R$, jest otwarty w $\tau$. I ostatnia możliwość, że zbiór to $(-n,n)$. Jego przeciwobraz przez tę funkcję to $(-\frac{n}{2},\frac{n}{2})$. I pytamy, czy w topologii $\tau$ (czyli naturalnej) jest to zbiór otwarty. Jest. Zatem w każdym przypadku przeciwobrazem zbioru otwartego jest zbiór otwarty. Funkcja ciągła. Spróbujesz teraz?

mat12 postów: 221	2013-02-11 17:09:51 tak $\tau_{n}$ oznacza topologię naturalną. czyli w B. biorę zbiór (-2,2) należący do topologii $\tau_{n}$. Jego przeciwobraz to zbiór (-1,1). Spr czy (-1,1) należy do t. (-1,1)$\subset \mathbb{R}$ ale zbiór $\mathbb{R} \backslash (-1,1) $ nie jest skończony tak? czyli nieciągła

mat12 postów: 221	2013-02-11 17:17:16 w C. i D. biorę zbiór $\emptyset$ należący do t. Przeciwobrazem zbioru pustego jest zbiór pusty,a ten zbiór należy do każdej topologii (w szczególności do $\tau_{n}$ i t)

tumor postów: 8070	2013-02-11 17:38:21 W B dokładnie tak. Wystarczy podać przykład, że przeciwobraz zbioru otwartego nie jest otwarty. W C i D sprawdziłaś zbiór pusty, ale to nie jest jedyny zbiór otwarty w topologii $\tau`$. Weźmy teraz $A\subset R$ taki, że $R \backslash A$ jest skończony. f jest bijekcją (różnowartościowa i "na"), zatem także przeciwobraz $f^{-1}(R\backslash A)=R\backslash f^{-1}(A)$ jest skończony, dlatego w D odpowiedź brzmi TAK. W C trzeba jeszcze pokazać, że $R$ z wyrzuconą skończoną ilością punktów jest zbiorem otwartym. Ale zbiory jednopunktowe są w topologii naturalnej domknięte, skończone ich sumy są domknięte, a $R$ minus zbiór domknięty daje zbiór otwarty. Dlatego i w C odpowiedź brzmi TAK.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj