Topologia, zadanie nr 1073

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
mat12 postów: 221	2013-02-11 16:40:24 W $\mathbb{R^2}$rozważamy topologię produktową pochodzącą od $\tau_{n}$. Niech $A_{n}$ ={$(x,y) : x\in[0,1), y=\frac{1}{n}x$} i niech A= $\bigcup_{n\in \mathbb{N_{1}}} A_{n}$. A.Czy A jest spójny? B.Czy A jest łukowo spójny? C.Czy cl(int A) = cl(A)? D.Czy cl(A) jest zwarty? odpowiedzi to: A.tak B.tak C.nie D.tak

mat12 postów: 221	2013-02-11 18:06:54 jest tw.że jeśli przestrzeń jest łukowo spójna to jest też spójna. mam napisane że $(\mathbb{R},\tau_{n})$ jest łukowo spójna więc pewnie także zbiór A z $\mathbb{R^{2}}$ z topologią pochodzacą od $\tau_{n}$ jest łukowo spójny więc również spójny. można to tak rozumować? w C. int A=A wtedy i tylko wtedy gdy A należy do topologii naturalnej,a tutaj A to suma zbiorów które nie należą do top.naturalnej więc nie zachodzi żądana równość w C. w D. cl(A)będzie równe $\mathbb{R}$?

tumor postów: 8070	2013-02-14 22:55:02 Mogłabyś powiedzieć, jaką miałaś (dokładnie) definicję łukowej spójności. $A$ to taki grzebyk z coraz gęstszymi zębami. Jeśli weźmiemy dwa punkty należące do $A$ to łatwo je połączyć drogą homeomorficzną z odcinkiem $[0,1]$. Zatem rzeczywiście B. Tak. Jeśli przestrzeń jest spójna łukowo, to musi być spójna, to wynika z własności funkcji ciągłych i spójności. Zatem A. Tak.

tumor postów: 8070	2013-02-14 23:11:55 Dodam, że w A i B zastanawiamy się, czy zbiór $A$ jest spójny. Twoja argumentacja pozwala pokazać, że przestrzeń $R^2$ jest łukowo spójna (jako iloczyn kartezjański dwóch przestrzeni łukowo spójnych). Ale wcale nie wiemy, czy każdy zbiór tej przestrzeni jest łukowo spójny (nie jest!!). Zatem trzeba się przyjrzeć samemu zbiorowi $A$. C. Argumentacja NIE JEST dobra. $A$ jest sumą zbiorów, które nie należą do topologii. Prawda. Ale to nie oznacza, że NIE JEST sumą zbiorów, które do topologii należą. :) Zbiór $B=(0,1)$ jest sumą zbiorów $B\backslash Q $ i $B\cap Q$, oba nie należą do topologii naturalnej w $R$, a jednak $B$ jest otwarty w $R$, czyli $B=int B$. :) To taki przykład, że argumentacja jest zła. Czytasz w ogóle takie moje dygresje czy tylko odpowiedzi spisujesz? Jeśli bierzemy iloczyn kartezjański skończenie wielu przestrzeni topologicznych, to bazą topologii produktowej są iloczyny kartezjańskie zbiorów bazowych wyjściowych topologii. Czyli w tym przypadku zbiorami bazowymi są $B_1\times B_2$, gdzie $B_1, B_2$ są bazowe w R z topologią naturalną (czyli możemy tu wziąć na przykład przedziały o końcach wymiernych, to dość oczywista baza $R$). Zastanówmy się jaki jest zbiór $int A$. Widzimy, jak wygląda $A$. Składa się z odcinków. Odcinki są gęste z jednej strony, ale przecież między każdymi dwoma jest szpara. :) Łączą się tylko jednym końcem w $(0,0)$. Jeśli weźmiemy jakiś $x\in A$ i zbiór bazowy (kwadracik) zawierający $x$, to ten zbiór bazowy na pewno wyjdzie poza $A$. Zatem $A$ nie jest nadzbiorem żadnego niepustego zbioru bazowego, czyli $int A=\emptyset$. Skoro tak, to $cl(int A)=\emptyset\neq A \subset cl A$

tumor postów: 8070	2013-02-14 23:21:05 D. Nie jest prawdą, że $cl A=R$ Weź zbiór $C=\{(x,y): -1\le x\le 3, -1\le y\le 3\}$ $C$ jest domknięty oraz $A\subset C$, czyli także $cl A\subset C$ $cl A$ jest zatem nie tylko domknięty (jako domknięcie), ale i ograniczony, co w $R^n$ wystarcza do zwartości. ----- Ogólnie powinnaś się orientować, że na płaszczyźnie "wielokąt z brzegiem" jest zbiorem domkniętym w topologii naturalnej, a "wielokąt bez brzegu" zbiorem otwartym. Dlatego wyżej napisałem "kwadraciki", bo iloczyn kartezjański przedziałów otwartych ma graficzną postać kwadratu bez brzegu. Zbiór $C$ to kwadrat z brzegiem. Dowód domkniętości/otwartości jest dość oczywisty, więc go nie piszę. :)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj