logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Topologia, zadanie nr 1077

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

mat12
postów: 221
2013-02-11 19:49:05

Rozważmy ($\mathbb{R},\tau_{n}$) , gdzie $\tau_{n}$ oznacza topologię naturalną. Niech Z={$\frac{k+1}{k}; k\in \mathbb{N_{1}}$}$\cup${1}.
A.Czy Z jest zbiorem spójnym?
B.Czy {1} jest otwarty w Z?
C.Czy {1} jest domknięty w Z?
D.Czy {$\frac{5}{4}$} jest otwarty w Z?

odpowiedzi to:
A.nie
B.nie
C.tak
D.tak

A.
nie jest spójna bo Z można przedstawić w postaci sumy dwóch zbiorów niepustych,otwartych(należących do topologii)i rozłącznych.
co do pozostałych to nie mam pomysłu poza tym że 1 i 5/4 należą do Z.


tumor
postów: 8070
2013-02-11 20:44:41

A.
Dobrze mówisz. Skoro można, to najlepiej to zrobić.
$G=(-\infty, \frac{5}{4})\cap Z$, $H=Z \backslash G$
$G$ i $H$ są niepuste otwarte i rozłączne.

B.
W punkcie wyżej tak łatwo powiedziałem, że $G$ i $H$ są otwarte, ale trzeba umieć podać jakieś zbiory otwarte w $R,\tau_n$, rozłączne, których przekroje z $Z$ będą niepuste i będą się sumowały do $Z$.
A teraz zastanówmy się, czy umiemy podać otoczenie otwarte $U$ punktu $1$ w $R$ takie, żeby $U\cap Z=\{1\}.$
Nie umiemy. A jeszcze by to trzeba pokazać. :)
Niech $U$ będzie dowolnym otoczeniem otwartym punktu $1$ w $R$. Wtedy istnieje $\epsilon>0$, że $K(1,\epsilon)\subset U$.
Zauważmy, że skoro $\lim_{k \to \infty}\frac{k+1}{k}=1$, to w takiej kuli otwartej na pewno znajduje się nieskończenie wiele elementów zbioru $Z$. A $U$ wybraliśmy dowolnie.



tumor
postów: 8070
2013-02-11 20:54:07

C.
Zbiory jednopunktowe są domknięte w $R,\tau_n$, bo zbiory
$(-\infty,x_0)$ i $(x_0,\infty) $ są otwarte i ich suma jest otwarta.
Zatem i w $Z$ zbiory jednopunktowe są domknięte.

D.
Analogicznie do podpunktu B poszukamy zbioru $U$ otwartego w $R$, takiego, że $U\cap Z=\{\frac{5}{4}\}$. Tym razem się uda.
Nie chce mi się sprowadzać do wspólnego mianownika, więc zaszaleję, niech to będzie
$(\frac{5}{4}-\epsilon, \frac{5}{4}+\epsilon)$ dla $\epsilon=\left((9^9)^{(9^9)}\right)^{-9^9}$



strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj