Topologia, zadanie nr 1077

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
mat12 postów: 221	2013-02-11 19:49:05 Rozważmy ($\mathbb{R},\tau_{n}$) , gdzie $\tau_{n}$ oznacza topologię naturalną. Niech Z={$\frac{k+1}{k}; k\in \mathbb{N_{1}}$}$\cup${1}. A.Czy Z jest zbiorem spójnym? B.Czy {1} jest otwarty w Z? C.Czy {1} jest domknięty w Z? D.Czy {$\frac{5}{4}$} jest otwarty w Z? odpowiedzi to: A.nie B.nie C.tak D.tak A. nie jest spójna bo Z można przedstawić w postaci sumy dwóch zbiorów niepustych,otwartych(należących do topologii)i rozłącznych. co do pozostałych to nie mam pomysłu poza tym że 1 i 5/4 należą do Z.

tumor postów: 8070	2013-02-11 20:44:41 A. Dobrze mówisz. Skoro można, to najlepiej to zrobić. $G=(-\infty, \frac{5}{4})\cap Z$, $H=Z \backslash G$ $G$ i $H$ są niepuste otwarte i rozłączne. B. W punkcie wyżej tak łatwo powiedziałem, że $G$ i $H$ są otwarte, ale trzeba umieć podać jakieś zbiory otwarte w $R,\tau_n$, rozłączne, których przekroje z $Z$ będą niepuste i będą się sumowały do $Z$. A teraz zastanówmy się, czy umiemy podać otoczenie otwarte $U$ punktu $1$ w $R$ takie, żeby $U\cap Z=\{1\}.$ Nie umiemy. A jeszcze by to trzeba pokazać. :) Niech $U$ będzie dowolnym otoczeniem otwartym punktu $1$ w $R$. Wtedy istnieje $\epsilon>0$, że $K(1,\epsilon)\subset U$. Zauważmy, że skoro $\lim_{k \to \infty}\frac{k+1}{k}=1$, to w takiej kuli otwartej na pewno znajduje się nieskończenie wiele elementów zbioru $Z$. A $U$ wybraliśmy dowolnie.

tumor postów: 8070	2013-02-11 20:54:07 C. Zbiory jednopunktowe są domknięte w $R,\tau_n$, bo zbiory $(-\infty,x_0)$ i $(x_0,\infty) $ są otwarte i ich suma jest otwarta. Zatem i w $Z$ zbiory jednopunktowe są domknięte. D. Analogicznie do podpunktu B poszukamy zbioru $U$ otwartego w $R$, takiego, że $U\cap Z=\{\frac{5}{4}\}$. Tym razem się uda. Nie chce mi się sprowadzać do wspólnego mianownika, więc zaszaleję, niech to będzie $(\frac{5}{4}-\epsilon, \frac{5}{4}+\epsilon)$ dla $\epsilon=\left((9^9)^{(9^9)}\right)^{-9^9}$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj