Analiza matematyczna, zadanie nr 1083

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
55555 postów: 60	2013-02-12 18:23:03 1) Udowodnić, że następujące liczby są liczbami niewymiernymi : a) $log_{2}$6 b) $log_{2}$7 c) tg$15^{0}$ d) tg$5^{0}$

pm12 postów: 493	2013-02-12 19:06:27 a) załóżmy, że ta liczba jest wymierna $log_{2}$6 = (p/q) (p,q - całkowite oraz q - niezerowe) q$log_{2}$6 = p $log_{2}$$6^{q}$ = p $2^{p}$ = $6^{q}$ $2^{p-q}$ = $3^{q}$ w=p-q $2^{w}$ = $3^{q}$ ostatnia równość nie zachodzi w liczbach całkowitych w,q ostatecznie, ta liczba jest niewymierna

pm12 postów: 493	2013-02-12 19:08:41 b) załóżmy, że ta liczba jest wymierna $log_{2}$7 = (p/q) (p,q - całkowite oraz q - niezerowe) q$log_{2}$7 = p $log_{2}$$7^{q}$ = p $2^{p}$ = $7^{q}$ ostatnia równość nie zachodzi w liczbach całkowitych p,q ostatecznie, ta liczba jest niewymierna

tumor postów: 8070	2013-02-14 21:47:37 c),d) Weźmy tożsamości trygonometryczne $tg(2x)=\frac{2tgx}{1-tg^2x}$ $tg(3x)=\frac{3tgx-tg^3x}{1-3tg^2x}$ Wypada oczywiście dla uczciwości się zorientować, jak się te tożsamości wyprowadza. Gdyby $tg5^\circ $ był wymierny, to także (korzystamy z drugiej tożsamości) $tg15^\circ$ byłby wymierny. Gdyby $tg15^\circ$ był wymierny, to także (teraz z pierwszej) $tg30^\circ$ byłby wymierny. Nie jest, czyli $tg15^\circ$ też nie jest i $tg5^\circ$ też nie jest. (Oczywiście rozumowanie nie działa w drugą stronę, to nic nie oznacza, że $tg45^\circ$ wymierny jest, żadnych wniosków z tego nie wyciągniemy dla kąta $15^\circ$)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj