logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 1084

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

pppsss
postów: 23
2013-02-12 18:28:26

2) Wyznaczyć kresy zbiorów :
a) A = {k + $\frac{1}{n}$ : n, k $\in$ N}
b) B = {$\frac{n}{n + k}$ : n, k $\in$N}
c) C = {$\frac{x}{1 + |x|} $: x $\in$ R}

Udowodnić, że następujący zbiór jest ograniczony :
d) D = {(1 + $\frac{(-1^n)}{n})^{n} $ : n$\in$N}
Proszę przede wszystkim o wytłumaczenie jak mam podstawiać to k

Wiadomość była modyfikowana 2013-02-12 18:33:24 przez pppsss

tumor
postów: 8070
2013-02-13 15:13:57

2. Po pierwsze może zauważmy, że N jest to rozumiane bez 0.

a) $inf A = 1$

Pokazujemy, że 1 jest ograniczeniem dolnym, bo $k\ge 1$ oraz $\frac{1}{n}>0$

I że jest największym ograniczeniem dolnym. Bo jeśli weźmiemy większe, tzn $1+\epsilon$, to dla $k=1$ znajdziemy dostatecznie duże $n$, aby $k+\frac{1}{n}<1+\epsilon$

$sup A$ nie istnieje, bo zbiór $N$ nie jest ograniczony z góry

b) $inf B=0$
Oczywiście 0 jest ograniczeniem dolnym, bo licznik i mianownik są dodatnie. Niech $n=1$. Wtedy dla każdego $\epsilon>0 $ znajdziemy odpowiednio duże $k$, aby $\frac{1}{1+k}<\epsilon$

$sup B = 1$
$1$ jest ograniczeniem górnym, bo ułamek ma mianownik większy od licznika.
Niech $k=1$.
Dla każdego $\epsilon>0$ znajdziemy n na tyle duże, by $1-\epsilon<\frac{n}{n+1}$

c)
$inf C = -1$
$sup C= 1$

Uzasadniamy analogicznie, dwuetapowo.


-----

Jakie wytłumaczenie, jak masz podstawiać k?
Rób jak matematyk. Bierzesz n=1 i k=1, sprawdzasz wyniki. Potem bierzesz n=1 i k=2, potem k=1 i n=2. Potem n=2 i k=2, następnie n=1, k=3, potem n=3 i k=1, wreszcie n=3 i k=2 oraz k=3 i n=2, aż dochodzisz do n=3 i k=3. I tak dalej z pozostałymi liczbami naturalnymi.


strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj