Topologia, zadanie nr 1085

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
mat12 postów: 221	2013-02-12 19:56:05 Niech X, Y$\subset \mathbb{R}$ i niech f: $X\rightarrow Y$ (z topologią naturalną zawężoną odpowiednio do X i Y) Czy f może być ciągłą surjekcją ,gdy: A. $X=(0,1)$ , $Y= \mathbb{R}$? B. $X= \mathbb{R}$ , $Y= [1,2]\cup${$ 3$}? C. $X= [0,3]\cup [5,6]$ , $Y= (0,1)$? D. $X=\mathbb{Q}$ , $Y= [0,1)$? E. $X= [0,1]\cup${$2$} , $Y= (0,1)$? F. $X= \mathbb{R}$ , Y ={$-1,1$}? G. $X= \mathbb{Z}$ , Y = {$1,2$}? H. $X= (0,1)$ , $Y= [0,1]$? odpowiedzi to: w A.,G., H. TAK W B.,C.,D.,E.,F. NIE wiem że jak f jest ciągłą surjekcją to obraz przestrzeni zwartej jest przestrzenią zwartą,obraz przestrzeni spójnej jest przestrzenią spójną niektóre podpunkty mogą się wydawać analogiczne ale chciałabym dzięki temu lepiej zrozumieć to zadanie bardzo proszę o wytłumaczenie:) z góry ogromnie dziękuję

tumor postów: 8070	2013-02-13 14:34:59 Tam, gdzie odpowiedź jest twierdząca, można podać ciągłą suriekcję, choć może wtedy trzeba będzie pokazać ciągłość :) A. na przykład $tg((x-\frac{1}{2})\pi)$ Ciągłych suriekcji jest nieskończenie wiele, możesz podać inną. ;) B. Tu natomiast można właśnie z tego skorzystać, że obrazem zbioru spójnego poprzez funkcję ciągłą nie może być zbiór niespójny, R jest spójny, a Y daje się podzielić na dwa zbiory otwarto-domknięte, rozłączne, niepuste. C. Tu podobnie, ale ze zwartości. X zwarty jest, Y nie, czyli każda funkcja albo nie jest ciągła, albo nie jest suriekcją. D. X jest przeliczalny, Y nieprzeliczalny. Zatem nie istnieje żadna suriekcja z X na Y, czy ciągła czy nie ciągła. E. X zwarty, Y nie F. X spójny, Y nie G. X jest przestrzenią dyskretną (zbiory jednopunktowe są otwarte, co za tym idzie każdy zbiór jest otwarty). Zatem przeciwobraz zbioru otwartego dla dowolnej suriekcji $f:X\to Y$ jest otwarty, czyli każda suriekcja jest ciągła. Wystarczy zatem podać wzór dowolnej suriekcji. H. Tu także najlepiej funkcję podać. Może być wielomian albo funkcja kawałkami liniowa. Na przykład $f(x)=\|\|3(x-\frac{1}{2})\|-1\|$ (nie chce mi się sprawdzać, mogłem ją gdzieś źle przesunąć, ale o coś podobnego chodzi)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj