Topologia, zadanie nr 1097

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
mat12 postów: 221	2013-02-13 18:51:57 W $\mathbb{R^{2}}$ i w $\mathbb{R}$ rozważamy metryki euklidesowe. Niech f : $(x,y)\in \mathbb{R^{2}} \rightarrow x^{2}\in \mathbb{R}$. A.Czy f jest ciągła? B.Czy f jest jednostajnie ciągła? C.Czy dla każdego zbioru spójnego $A\subset \mathbb{R^{2}}$ f(A) jest spójny? D.Czy $f^{-1}$({9}) jest zwarty? odpowiedzi to: A.tak B.nie C.tak D.nie A.przeciwobraz zbioru otwartego jest otwarty B. Niech f: X$\rightarrow$Y (z metryką odpowiednio $\varrho$ i $\varrho'$) Mówimy że f jest jednostajnie ciągła, jeśli $\forall_{\epsilon>0}\exists_{\delta>0} \forall_{x,z\in X}$ $[\varrho(x,z)<\delta\Rightarrow \varrho'(f(x),f(z))<\epsilon]$ C.obraz zbioru spójnego jest spójny gdy f jest ciągłą surjekcją a tutaj f jest ciągłą surjekcją ale nie iniekcją D.przeciwobraz {9} to zbiory (3,y) oraz (-3,y)a te zbiory nie są zwarte bo nie są domknięte ale nie jestem tego wszystkiego pewna że to dobrze jest:) proszę o pomoc w dokończeniu tego:)

mat12 postów: 221	2013-02-15 19:35:09 proszę o pomoc jeszcze w tym zadaniu:)

tumor postów: 8070	2013-02-15 21:40:52 Młoda. Denerwujesz mnie tym przerzucaniem swojego zadania na górę. Coraz więcej osób tak robi. Po pierwsze nie zawsze zerknę, kto odpisał, po prostu się za zadania z odpowiedziami nie biorę. Po drugie mnie to zwyczajnie denerwuje. Pomoże ktoś? Pomoże? pf. Zadania są widoczne. Nie trzeba targu robić, czosnek świeży, czosnek polski, tanio sprzedam! A. Sprawdzamy przeciwobrazy zbiorów otwartych. Oczywiście funkcja $g(x)=x^2$ jest ciągła. Niech $U\subset R$ otwarty. Wtedy $f^{-1}(U)=g^{-1}(U)\times R$, czyli otwarty. B. Podobnie jak wyżej wystarczy, że g(x) jednostajnie ciągła nie jest. Weźmy $a=(x,y)$, $b=(x+\delta, y)$. Oczywiście odległość między tymi argumentami jest $\delta$. Ustalmy $\epsilon>0$ Liczba $\delta$ jest nieustalona, może być dowolnie bliska zera, byle dodatnia. Pokażemy, że jaka by nie była, nie jest odpowiednia dla naszego ustalonego $\epsilon$. ;) Bowiem $f(a)=x^2$, $f(b)=(x+\delta)^2=x^2+2\delta x+\delta^2$ czyli odległość $f(a)$ od $f(b)$ jest równa $2\delta x+\delta^2$, co jest większe niż $\epsilon$ dla $x=\frac{\epsilon}{2\delta}$. Zatem niezależnie od wyboru $\epsilon>0$ nieprawdą jest, że istnieje $\delta>0$ taka, że spełniony jest warunek jednostajnej ciągłości.

tumor postów: 8070	2013-02-16 10:21:16 C. Iniekcją być nie musi. Suriekcją być też nie musi. :) Musi być ciągła. Skoro jest ciągła, to obraz zbioru spójnego jest spójny. (Suriekcje sprawdzaliśmy gdzie indziej. Może istnieć funkcja ze zbioru spójnego W zbiór niespójny, ale nie istnieje suriekcja ze spójnego NA niespójny. Tu interesuje nas tylko spójność obrazu, ta wynika z ciągłości)

tumor postów: 8070	2013-02-16 10:29:47 D. $A=f^{-1}(\{9\})=\{(x,y):x=\pm3, y\in R\}$ Innymi słowy ten przeciwobraz to w układzie kartezjańskim dwie proste pionowe $x=3$ i $x=-3$. Jest to zbiór domknięty, ale nie jest ograniczony, co utrudnia zwartość. :) Czyli z odpowiedniego twierdzenia już mamy co trzeba. Ale równie dobrze możemy podać pokrycie otwarte, które nie ma podpokrycia skończonego. Weźmy na przykład rodzinę $A\cap K((\pm 3, k),\frac{6}{11})$, dla $k \in Z$. Kul jest nieskończenie (przeliczalnie) wiele. Środek każdej kuli (po przecięciu z $A$) należy tylko do niej, zatem nic z pokrycia nie możemy już usunąć. Nie istnieje podpokrycie skończone. Dostajemy już jakieś piątki za to?

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj