Topologia, zadanie nr 1103

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
mat12 postów: 221	2013-02-14 19:43:27 Niech $\tau$ = {$\emptyset$}$\cup${$A\subset\mathbb{R} : \mathbb{R}\backslash A\subset \mathbb{Z}$}. A.Czy $(\mathbb{R},\tau)$ jest $T_{1}$- przestrzenią? B.Czy zbiór $\mathbb{N_{0}}$ jest domknięty w $(\mathbb{R},\tau)$? C.Czy $(\mathbb{R},\tau)$ jest ośrodkowa? D.Czy $(\mathbb{R},\tau)$ jest zwarta? odpowiedzi to: A.nie B.tak C.tak D.nie C. zbiorem przeliczalnym gęstym, zawierającym się w $\mathbb{R}$ będzie $\mathbb{Q}$? w pozostałych nie chcę pisać głupot więc proszę o pomoc kogoś mądrego:) z góry dziękuję

tumor postów: 8070	2013-02-14 21:10:38 Kogoś, kogoś. Parę osób tu pewnie wie, co to topologia, ale im się nie chce. Wiadomo, że ja odpowiem, bo zbieram na Juszkiewicza. A. Jeśli już wiesz, że nie jest $T_1$, to szukasz po prostu kontrprzykładu. Ale gdybyśmy tak odpowiedzi nie znali (może spróbuj coś zrobić bez odpowiedzi?), to trzeba myśleć. $T_1$ oznacza, że dla każdych różnych $x,y$ istnieje $U$-otwarty, że $x\in U$ i $y\notin U$. Tutaj łatwo (prawda?) zauważyć, że na przykład $\frac{1}{2}$ należy do WSZYSTKICH zbiorów otwartych niepustych. Czyli jeśli $y=\frac{1}{2}$, to na pewno nie istnieje zbiór otwarty $U$, że $x\in U$ (czyli $U$ niepusty) oraz $y\notin U$. x można wybrać dowolnie, tu szukanie kontrprzykładu nie jest skomplikowane. B. Tu przecież jest niesamowicie łatwo. Poświęć tym zadaniom chwilę, zanim napiszesz, że nie wiesz. Przecież $N_0\subset Z$, czyli $A=R\backslash N_0$ spełnia warunek $R\backslash A\subset Z$. Czyli $A$ otwarty, czyli $N_0$ domknięty.

tumor postów: 8070	2013-02-14 21:18:37 C. $Q$ jest oczywiście często sensowną kandydaturą. Sprawdzamy. $Q$ jest przeliczalny. Pozostaje sprawdzić, czy jego domknięciem jest $R$. Zauważ, że poza $R$ WSZYSTKIE zbiory domknięte $F$ spełniają warunek $F\subset Z$. Czyli domknięciem $Q$ nie jest żaden z nich. Czyli musi być nim $R$. Przy tej samej argumentacji da się podać wiele innych zbiorów gęstych przeliczalnych. ;)

tumor postów: 8070	2013-02-14 21:27:53 D. Wiedząc, że nie jest zwarta, szukamy po prostu kontrprzykładu. Ale znów. Załóżmy, że nie wiemy, czy zwarta jest. Zwartość chyba miałaś definiowaną przez pokrycia? Czyli że z każdego pokrycia R zbiorami otwartymi można wybrać podpokrycie skończone? Wówczas zastanawiamy się, czy istnieje pokrycie, z którego nie można. Najłatwiej by nam było, gdyby w ogóle istniało takie pokrycie, że każdy jego element ma punkt, który nie należy do innych elementów. (I gdyby to oczywiście nie było pokrycie skończone). Niech $k\in Z$ oraz $A=R\backslash Z$. Zdefiniujmy $A_k=A\cup\{k\}$. Zbiory $A_k$ są otwarte. Jest ich przeliczalnie wiele, ale nieskończenie. I świetnie wyszło, bo każda liczba całkowita należy tylko do jednego zbioru $A_k$. Czyli takie pokrycie nie daje się zmniejszyć, nie możemy usunąć żadnego elementu, aby to wciąż było pokrycie. Zatem wyszło łatwo. (Z niektórymi przestrzeniami, które nie są zwarte, byłoby trudniej, ale to wyżej to taka metoda w zgadywanie najprostszej możliwości. Zadziałało)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj