Topologia, zadanie nr 1109

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
mat12 postów: 221	2013-02-15 17:15:19 W zbiorze $\mathbb{R}$ definiujemy topologię $\tau$ w następujący sposób: $A\in \tau \iff 1\notin A$ lub $\mathbb{R}\backslash A$ jest co najwyżej przeliczalny A.Czy {$2k : k \in \mathbb{Z}$}$\in \tau \cap \sigma$?(czyli czy jest zb.otwarto-domkniętym) B.Czy $(\mathbb{R},\tau)$ jest przestrzenią Hausdorffa? C.Czy $(\mathbb{R},\tau)$ jest zwarta? D.Czy $(\mathbb{R},\tau)$ jest spójna? odpowiedzi to: A.tak B.tak C.nie D.nie A. ten zbiór jest otwarty bo 1 nie należy do niego ($\frac{1}{2}\notin \mathbb{Z}$) a domkniętość będzie wynikała z tego że ten zbiór jest co najwyżej przeliczalny??? B. Przestrzeń topologiczna $(X,\tau)$ jest przestrzenią Hausdorffa, jeśli dwa różne punkty tej przestrzeni posiadają otoczenia rozłączne. C. Przestrzeń topologiczna $(X,\tau)$ naz.przestrzenią zwartą, jeśli $(X,\tau)$ jest przestrzenią Hausdorffa i każde pokrycie otwarte przestrzeni X ma podpokrycie skończone. D. Przestrzeń topologiczna $(X,\tau)$ naz.przestrzenią spójną, jeśli X nie da się zapisać jako suma dwóch zbiorów otwartych,niepustych i rozłącznych.

tumor postów: 8070	2013-02-15 17:43:31 A. Dokładnie tak jak piszesz. B. Napisałaś definicję, teraz skorzystaj. Zbiory otwarte to te, które nie zawierają jedynki lub te, które mają przeliczalne dopełnienie. Oczywiście te drugie są "duże". Weźmy $x,y\in R$. Ale niech $x\neq y$, $x\neq 1$ i $y\neq 1$. Na początek rozważymy co się dzieje poza $1$, bo jedynka jest wyróżniona w tej przestrzeni i może się zachowywać dziwnie. Pomyśl, jakie są NAJMNIEJSZE (jakie umiesz podać) zbiory otwarte zawierające $x$ i $y$. Bo im są mniejsze (w jakimś niekoniecznie ścisłym sensie) tym łatwiej trafić na to, że są rozłączne. Tutaj zbiory $\{x\}$ i $\{y\}$ są otwarte rozłączne, czyli bardzo łatwo!. Teraz niech $x=1\neq y$. Wiemy już, że $\{y\}$ jest otwarty. Pozostaje tylko znaleźć zbiór $U$ rozłączny z $\{y\}$, otwarty i zawierający $x=1$. Oczywiście skoro $x=1$, to zbiór ten spełniać musi warunek $R\backslash U$ najwyżej przeliczalny. Ale wymyślić go prosto. Na przykład $U=R\backslash \{y\}$ jest odpowiednim zbiorem (można było odjąć więcej punktów, ale nie trzeba). D. Zauważ, że zupełnie przypadkiem zbiory $\{y\}$ i $R\backslash \{y\}$ dla $y\neq 1$ wyszły nie tylko otwarte, niepuste, rozłączne, ale i sumujące się do $R$. Niespójność wyszła, choć się nie starałem. Te zadania są tak urobione, żeby było łatwo. :)

tumor postów: 8070	2013-02-15 17:53:51 C. No i zwartość. Popatrz tak. Szukasz jakiegoś dużego pokrycia, ale złożonego z "małych" (znów niekoniecznie ściśle) zbiorów, żeby się ich nie dało wyrzucać, bo powstaną "dziury" w pokryciu. Tu już wiesz, że jeśli $x\neq 1$, to zbiory $\{x\}$ są otwarte. Tak można pokryć $R\backslash \{1\}$, czyli niestety nie wszystko. Trzeba dodać jeszcze jeden zbiór otwarty zawierający $1$, ale właśnie jak najmniejszy, żeby nie przykryć nim zbyt wiele. Moglibyśmy wziąć całe $R$, moglibyśmy $R$ bez zbioru skończonego, ale najmniejszy będzie $R$ bez zbioru przeliczalnego nieskończonego. I taki najmniejszy weźmiemy, na przykład $R\backslash Q$. Do tego dodamy wszystkie $\{x\}$ dla $x\in Q$. Takie pokrycie otwarte jest nieskończone. Zbiory tego pokrycia są rozłączne, czyli żadnego nie możemy usunąć. Czyli nie da się wybrać podpokrycia skończonego. Nie jest zwarta.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj