Topologia, zadanie nr 1124
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
| 909090 postów: 1 |  2013-02-18 21:16:531) Niech X = $R^{2}$. Zbadać które z poniższych funkcji są metrykami w X : a) d(($x_{1}$, $y_{1}$), ($x_{2}$, $y_{2}$)) = |$x_{2}$ - $x_{1}$| + |$y_{2}$ - $y_{1}$|, b) d($x_{1}$, $y_{1}$ $y_{1}$), ($x_{2}$, $y_{2}$)) = |$x_{2}$ - $x_{1}$| - |$y_{2}$ - $y_{1}$|, c) d(($x_{1}$, $y_{1}$), ($x_{2}$, $y_{2}$)) = 2|$x_{2}$ - $x_{1}$| + |$y_{2}$ - $y_{1}$|, d) d(($x_{1}$, $y_{1}$), ($x_{2}$, $y_{2}$)) = max{|$x_{2}$ - $x_{1}$|, |$y_{2}$ - $y_{1}$|}, e) d(($x_{1}$, $y_{1}$), ($x_{2}$, $y_{2}$)) = max{|$x_{2}$ - $x_{1}$|, 2|$y_{2}$ - $y_{1}$|}, f) d(($x_{1}$, $y_{1}$), ($x_{2}$, $y_{2}$)) = max{|$x_{2}$ - $x_{1}$|, $y_{2}$ - $y_{1}$}, g) d(($x_{1}$, $y_{1}$), ($x_{2}$, $y_{2}$)) = $(x_{2} - x_{1})^{2}$ + ($y_{2} - y_{1})^{2}$ h) d(($x_{1}$, $y_{1}$), ($x_{2}$, $y_{2}$)) = $\sqrt{(x_{2} - x_{1})^2 + (y_{2} - y_{1})^2}$ w przypadku, gdy dana funkcja jest metryką, podać jak wyglądają kule i sfery w tej przestrzeni oraz scharakteryzować ciągi zbieżne. |
| tumor postów: 8070 | 2013-02-18 21:56:31 a) $d((a,b),(c,d))=0 \iff$ $a=c$ i $b=d$ $d((a,b),(c,d))=d((c,d),(a,b))$ i na koniec warunek trójkąta. $d((a,b),(c,d))=|c-a|+|d-b|$ $d((a,b),(x,y))=|x-a|+|y-b|$ $d((x,y),(c,d))=|c-x|+|d-y|$ Mamy $|c-a|=|c-x+x-a|\le|x-a|+|c-x|$ $|d-b|=|d-y+y-b|\le |d-y|+|y-b|$ Zatem spełniony warunek trójkąta, jest metryką. |
| tumor postów: 8070 | 2013-02-18 21:58:15 b) $d((2,2),(1,1))=1-1=0$ Nie jest metryką, nie spełnia warunku pierwszego. |
| tumor postów: 8070 | 2013-02-18 22:01:03 c) Wszystkie obliczenia wyglądają dokładnie identycznie jak w a), tylko w odpowiednim miejscu piszemy dodatkową $2$ Obliczenia pozostają w mocy, trzy warunki spełnione, jest metryką. |
| tumor postów: 8070 | 2013-02-18 22:17:54 d) $d((a,b),(c,d))=0 \iff max(|c-a|,|d-b|)=0 \iff c=a$ i $d=b$ $d((a,b),(c,d))=d((c,d),(a,b))$ (maksimum się nie zmienia od przestawienia liczb) i znów najwięcej zabawy z warunkiem trójkąta $d((a,b),(c,d))=max(|c-a|,|d-b|)$ $d((a,b),(x,y))=max(|x-a|,|y-b|)$ $d((x,y),(c,d))=max(|c-x|,|d-y|)$ Załóżmy, że $max(|c-a|,|d-b|)=|c-a|$ Oczywiście (jak w a)) mamy $|c-a|\le |x-a|+|c-x|\le max(|x-a|,|y-b|)+max(|c-x|,|d-y|)$ Analogicznie, jeśli $max(|c-a|,|d-b|)=|d-b|$ |
| tumor postów: 8070 | 2013-02-18 22:19:44 e) obliczenia wyglądają jak w d) z drobnym dodatkiem c) jest metryką |
| tumor postów: 8070 | 2013-02-18 22:25:07 f) nie jest metryką, nie spełnia warunku pierwszego ani drugiego pokażemy może pierwszy $d((2,2),(2,1))=0$ |
| tumor postów: 8070 | 2013-02-18 23:30:18 g) warunki 1 i 2 są takie niesamowicie oczywiste, że mi się nie chce pisać. I znów pozostaje sprawdzić warunek trójkąta. Właściwie też mi się nie chce pisać. $d((a,b),(c,d))=(c-a)^2+(d-b)^2$ $d((a,b),(x,y))=(x-a)^2+(y-b)^2$ $d((x,y),(c,d))=(c-x)^2+(d-y)^2$ Warunek trójkąta nie zachodzi, o. Niech $(a,b)=(2,2)$ $(c,d)=(0,0)$ $(x,y)=(2,1)$ |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj