logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Topologia, zadanie nr 1124

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

909090
postów: 1
2013-02-18 21:16:53

1) Niech X = $R^{2}$. Zbadać które z poniższych funkcji są metrykami w X :

a) d(($x_{1}$, $y_{1}$), ($x_{2}$, $y_{2}$)) = |$x_{2}$ - $x_{1}$| + |$y_{2}$ - $y_{1}$|,
b) d($x_{1}$, $y_{1}$ $y_{1}$), ($x_{2}$, $y_{2}$)) = |$x_{2}$ - $x_{1}$| - |$y_{2}$ - $y_{1}$|,
c) d(($x_{1}$, $y_{1}$), ($x_{2}$, $y_{2}$)) = 2|$x_{2}$ - $x_{1}$| + |$y_{2}$ - $y_{1}$|,
d) d(($x_{1}$, $y_{1}$), ($x_{2}$, $y_{2}$)) = max{|$x_{2}$ - $x_{1}$|, |$y_{2}$ - $y_{1}$|},
e) d(($x_{1}$, $y_{1}$), ($x_{2}$, $y_{2}$)) = max{|$x_{2}$ - $x_{1}$|, 2|$y_{2}$ - $y_{1}$|},
f) d(($x_{1}$, $y_{1}$), ($x_{2}$, $y_{2}$)) = max{|$x_{2}$ - $x_{1}$|, $y_{2}$ - $y_{1}$},
g) d(($x_{1}$, $y_{1}$), ($x_{2}$, $y_{2}$)) = $(x_{2} - x_{1})^{2}$ + ($y_{2} - y_{1})^{2}$
h) d(($x_{1}$, $y_{1}$), ($x_{2}$, $y_{2}$)) = $\sqrt{(x_{2} - x_{1})^2 + (y_{2} - y_{1})^2}$

w przypadku, gdy dana funkcja jest metryką, podać jak wyglądają kule i sfery w tej przestrzeni oraz scharakteryzować ciągi zbieżne.


tumor
postów: 8070
2013-02-18 21:56:31

a)
$d((a,b),(c,d))=0 \iff$ $a=c$ i $b=d$

$d((a,b),(c,d))=d((c,d),(a,b))$

i na koniec warunek trójkąta.

$d((a,b),(c,d))=|c-a|+|d-b|$
$d((a,b),(x,y))=|x-a|+|y-b|$
$d((x,y),(c,d))=|c-x|+|d-y|$

Mamy $|c-a|=|c-x+x-a|\le|x-a|+|c-x|$
$|d-b|=|d-y+y-b|\le |d-y|+|y-b|$
Zatem spełniony warunek trójkąta, jest metryką.



tumor
postów: 8070
2013-02-18 21:58:15

b) $d((2,2),(1,1))=1-1=0$
Nie jest metryką, nie spełnia warunku pierwszego.


tumor
postów: 8070
2013-02-18 22:01:03

c)

Wszystkie obliczenia wyglądają dokładnie identycznie jak w a), tylko w odpowiednim miejscu piszemy dodatkową $2$

Obliczenia pozostają w mocy, trzy warunki spełnione, jest metryką.


tumor
postów: 8070
2013-02-18 22:17:54

d) $d((a,b),(c,d))=0 \iff max(|c-a|,|d-b|)=0 \iff c=a$ i $d=b$

$d((a,b),(c,d))=d((c,d),(a,b))$ (maksimum się nie zmienia od przestawienia liczb)

i znów najwięcej zabawy z warunkiem trójkąta

$d((a,b),(c,d))=max(|c-a|,|d-b|)$
$d((a,b),(x,y))=max(|x-a|,|y-b|)$
$d((x,y),(c,d))=max(|c-x|,|d-y|)$

Załóżmy, że $max(|c-a|,|d-b|)=|c-a|$
Oczywiście (jak w a)) mamy $|c-a|\le |x-a|+|c-x|\le max(|x-a|,|y-b|)+max(|c-x|,|d-y|)$
Analogicznie, jeśli $max(|c-a|,|d-b|)=|d-b|$





tumor
postów: 8070
2013-02-18 22:19:44

e) obliczenia wyglądają jak w d) z drobnym dodatkiem c)
jest metryką


tumor
postów: 8070
2013-02-18 22:25:07

f) nie jest metryką, nie spełnia warunku pierwszego ani drugiego

pokażemy może pierwszy

$d((2,2),(2,1))=0$


tumor
postów: 8070
2013-02-18 23:30:18

g) warunki 1 i 2 są takie niesamowicie oczywiste, że mi się nie chce pisać. I znów pozostaje sprawdzić warunek trójkąta. Właściwie też mi się nie chce pisać.

$d((a,b),(c,d))=(c-a)^2+(d-b)^2$
$d((a,b),(x,y))=(x-a)^2+(y-b)^2$
$d((x,y),(c,d))=(c-x)^2+(d-y)^2$

Warunek trójkąta nie zachodzi, o.
Niech $(a,b)=(2,2)$
$(c,d)=(0,0)$
$(x,y)=(2,1)$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj