Topologia, zadanie nr 1126
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
323232 post贸w: 22 |  2013-02-18 21:41:011) Dana jest przestrze艅 metryczna (X, q) okre艣lamy funkcj臋 - q = : X x X $\rightarrow$ <0,+ $\infty$) wzorem : - q(x,y) : = $\frac{q(x,y)}{1 + q(x,y)}$. Pokaza膰, 偶e - q jest metryk膮 w X. Wykaza膰 偶e metryki - q i q s膮 r贸wnowa偶ne. To samo co wy偶ej pokaza膰 o funkcji = q(x,y) : = min{q(x,y), 1} 2) Niech A$\neq$ 0 oraz f : A$\rightarrow$ R b臋dzie funkcj膮 injektywn膮. Wykaza膰, 偶e funkcja d(x,y) : = |f(x) - f(y)|, x,y$\in$ A jest metryk膮. |
tumor post贸w: 8070 | 2014-06-27 21:57:49 Literki $q$ i $q$ s膮 troch臋 zbyt podobne, 偶eby dwie r贸偶ne rzeczy nimi okre艣la膰. Powa偶nie. Niech $(X,d)$ b臋dzie przestrzeni膮 metryczn膮. W贸wczas $q:X^2\to <0;\infty)$ dana wzorem $q(x,y)=\frac{d(x,y)}{1+d(x,y)}$ jest metryk膮, bowiem a) $q(x,y)=0 \iff d(x,y)=0 \iff x=y$ b) $q$ jest symetryczna, bo $d$ jest symetryczna c) $q$ spe艂nia warunek tr贸jk膮ta. Mamy bowiem dla liczb nieujemnych $a,b,c$ je艣li $a\le b+c$ $a(1+b)(1+c)\le b(1+a)(1+c)+c(1+a)(1+b)$ co tez臋 o warunku tr贸jk膮ta da po podzieleniu obustronnie przez $(1+b)(1+c)(1+a)$ R贸wnowa偶no艣膰 metryk pokazujemy dowodz膮c, 偶e zbi贸r otwarty w jednej z nich jest otwarty w drugiej, wystarczy pokaza膰, 偶e kule otwarte dowolnej z metryk s膮 zbiorami otwartymi w drugiej. Zauwa偶my po pierwsze, 偶e je艣li d(x,y)<1 to mamy $\frac{d(x,y)}{2}\le \frac{d(x,y)}{1+d(x,y)}\le d(x,y)$. W rozumowaniach zawsze mo偶na si臋 ograniczy膰 do kul o ma艂ych promieniach, bo kule o du偶ych promieniach s膮 sumami kul o promieniach mniejszych. We藕my zatem $x\in K_d(P,\epsilon)$, w贸wczas $x$ jest 艣rodkiem kuli $K_d(x,\delta)\subset K_d(P,\epsilon)$, w贸wczas $K_q(x,\frac{\delta}{2}) =\{y: \frac{d(x,y)}{1+d(x,y)} <\frac{\delta}{2} \}\subset \{y: d(x,y)<\delta\}$ Odwrotnie, je艣li $x\in K_q(P,\epsilon)$, to istnieje $K_q(x,\delta)\subset K_q(P,\epsilon)$ oraz $x\in K_d(x,\delta)\subset K_q(x,\delta)$, bo $d(x,y)<\delta \Rightarrow \frac{d(x,y)}{1+d(x,y)}<\delta$ |
tumor post贸w: 8070 | 2014-06-27 22:05:48 2) niech $q(x,y)=min(1,d(x,y))$ W贸wczas a) $q(x,y)=0 \iff d(x,y)=0 \iff x=y$ b) symetria oczywista z symetrii $d$ c) warunek tr贸jk膮ta Mamy $d(x,y)\le d(x,z)+d(z,y)$ $min(d(x,y),1)\le d(x,y)\le d(x,z)+d(z,y)$ $min(d(x,y),1)\le 1\le 1+d(z,y)$ $min(d(x,y),1)\le 1\le 1+d(z,x)$ $min(d(x,y),1)\le 1\le 1+1$ No i r贸wnowa偶no艣膰 jak wy偶ej. Wystarczy ograniczy膰 si臋 do $\epsilon \in (0,1)$, w贸wczas $K_d(P,\epsilon)=K_q(P,\epsilon)$ |
tumor post贸w: 8070 | 2014-06-27 22:10:03 2) $f$ jest r贸偶nowarto艣ciowa, $f(x)=f(y) \iff x=y$, czyli $d(x,y)=0 \iff y=x$ Symetria jest oczywista. Pozostaje sprawdzi膰 warunek tr贸jk膮ta. Zachodzi膰 ma $|f(x)-f(y)|\le |f(x)-f(z)|+|f(z)-f(y)|$ no ale dla wszystkich liczb mamy $|a+b|\le |a|+|b|$, st膮d $|f(x)-f(y)|\le |f(x)-f(z)+f(z)-f(y)| \le |f(x)-f(z)|+|f(z)-f(y)|$ |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj