Topologia, zadanie nr 1126

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
323232 postów: 22	2013-02-18 21:41:01 1) Dana jest przestrzeń metryczna (X, q) określamy funkcję - q = : X x X $\rightarrow$ <0,+ $\infty$) wzorem : - q(x,y) : = $\frac{q(x,y)}{1 + q(x,y)}$. Pokazać, że - q jest metryką w X. Wykazać że metryki - q i q są równoważne. To samo co wyżej pokazać o funkcji = q(x,y) : = min{q(x,y), 1} 2) Niech A$\neq$ 0 oraz f : A$\rightarrow$ R będzie funkcją injektywną. Wykazać, że funkcja d(x,y) : = \|f(x) - f(y)\|, x,y$\in$ A jest metryką.

tumor postów: 8070	2014-06-27 21:57:49 Literki $q$ i $q$ są trochę zbyt podobne, żeby dwie różne rzeczy nimi określać. Poważnie. Niech $(X,d)$ będzie przestrzenią metryczną. Wówczas $q:X^2\to <0;\infty)$ dana wzorem $q(x,y)=\frac{d(x,y)}{1+d(x,y)}$ jest metryką, bowiem a) $q(x,y)=0 \iff d(x,y)=0 \iff x=y$ b) $q$ jest symetryczna, bo $d$ jest symetryczna c) $q$ spełnia warunek trójkąta. Mamy bowiem dla liczb nieujemnych $a,b,c$ jeśli $a\le b+c$ $a(1+b)(1+c)\le b(1+a)(1+c)+c(1+a)(1+b)$ co tezę o warunku trójkąta da po podzieleniu obustronnie przez $(1+b)(1+c)(1+a)$ Równoważność metryk pokazujemy dowodząc, że zbiór otwarty w jednej z nich jest otwarty w drugiej, wystarczy pokazać, że kule otwarte dowolnej z metryk są zbiorami otwartymi w drugiej. Zauważmy po pierwsze, że jeśli d(x,y)<1 to mamy $\frac{d(x,y)}{2}\le \frac{d(x,y)}{1+d(x,y)}\le d(x,y)$. W rozumowaniach zawsze można się ograniczyć do kul o małych promieniach, bo kule o dużych promieniach są sumami kul o promieniach mniejszych. Weźmy zatem $x\in K_d(P,\epsilon)$, wówczas $x$ jest środkiem kuli $K_d(x,\delta)\subset K_d(P,\epsilon)$, wówczas $K_q(x,\frac{\delta}{2}) =\{y: \frac{d(x,y)}{1+d(x,y)} <\frac{\delta}{2} \}\subset \{y: d(x,y)<\delta\}$ Odwrotnie, jeśli $x\in K_q(P,\epsilon)$, to istnieje $K_q(x,\delta)\subset K_q(P,\epsilon)$ oraz $x\in K_d(x,\delta)\subset K_q(x,\delta)$, bo $d(x,y)<\delta \Rightarrow \frac{d(x,y)}{1+d(x,y)}<\delta$

tumor postów: 8070	2014-06-27 22:05:48 2) niech $q(x,y)=min(1,d(x,y))$ Wówczas a) $q(x,y)=0 \iff d(x,y)=0 \iff x=y$ b) symetria oczywista z symetrii $d$ c) warunek trójkąta Mamy $d(x,y)\le d(x,z)+d(z,y)$ $min(d(x,y),1)\le d(x,y)\le d(x,z)+d(z,y)$ $min(d(x,y),1)\le 1\le 1+d(z,y)$ $min(d(x,y),1)\le 1\le 1+d(z,x)$ $min(d(x,y),1)\le 1\le 1+1$ No i równoważność jak wyżej. Wystarczy ograniczyć się do $\epsilon \in (0,1)$, wówczas $K_d(P,\epsilon)=K_q(P,\epsilon)$

tumor postów: 8070	2014-06-27 22:10:03 2) $f$ jest różnowartościowa, $f(x)=f(y) \iff x=y$, czyli $d(x,y)=0 \iff y=x$ Symetria jest oczywista. Pozostaje sprawdzić warunek trójkąta. Zachodzić ma $\|f(x)-f(y)\|\le \|f(x)-f(z)\|+\|f(z)-f(y)\|$ no ale dla wszystkich liczb mamy $\|a+b\|\le \|a\|+\|b\|$, stąd $\|f(x)-f(y)\|\le \|f(x)-f(z)+f(z)-f(y)\| \le \|f(x)-f(z)\|+\|f(z)-f(y)\|$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj