Analiza matematyczna, zadanie nr 114
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
| raczka1991 postów: 34 |  2011-03-25 15:49:58Mam problem z taką granicą: $ \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{\sin(x_0+h)}{x_0+h}- \frac{\sin x_0}{x_0} }{h} $, gdzie $x_0=0$ Przy czym musi być bez reguły de l"Hospitala, bo różniczkowalność funkcji jest w książce przed regułą de l'Hospitala. |
| tumor postów: 8070 | 2012-09-20 15:07:13 $f(x)=\frac{\sin x}{x}$ Piszesz, jakby chodziło Ci o sprawdzenie różniczkowalności w $x_0=0$, ale ta funkcja NIE JEST nawet określona w $0$, więc najwyraźniej kręcisz. Przypuśćmy, że funkcja wygląda raczej tak: $f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{\sin x}{x} && \mbox{dla }x\neq0 \\ 1 && \mbox{dla }x=0\end{matrix}\right.$ Jest to funkcja ciągła, bo $\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1=f(0)$. Geometrycznie/algebraicznie dowodzimy, że dla $0< x<\frac{\pi}{2}$ mamy $\sin x\le x \le \tan x$ co daje $1\le \frac{x}{\sin x} \le \frac{1}{\cos x}$ czyli $\cos x \le \frac{\sin x}{x}\le 1$ (i podobnie rozumujemy dla $x<0$). By odpowiedzieć na pytanie o różniczkowalność szacujemy: $0\le |\frac{\frac{\sin x}{x}-1}{x}| \le |\frac{\cos x-1}{x}|=| \frac{1-2\sin^2\frac{1}{2}x-1}{2*\frac{1}{2}x}|=| \frac{-\sin^2\frac{1}{2}x}{\frac{1}{2}x}|=|\frac{-\sin \frac{1}{2}x}{\frac{1}{2}x}|*|\sin \frac{1}{2}x|$ Z twierdzenia o trzech funkcjach mamy granicę $\lim_{x \to 0}\frac{\frac{\sin x}{x}-1}{x}=0$ ------- I mały dopisek: Granicę $\lim_{x \to x_0}\frac{\sin x}{x}$ w $x_0=0$ łatwo byłoby liczyć z reguły de l'Hospitala. W metodzie tej używa się pochodnej z funkcji $\sin x$, którą należy znać wcześniej. Pochodną liczymy $\lim_{x \to x_0}\frac{\sin x - \sin x_0}{x-x_0}=\frac{2\sin \frac{x-x_0}{2}\cos\frac{x+ x_0}{2}}{x-x_0}$ i korzystamy w tym miejscu z faktu, że $\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1$. Błędne koło. ;) Dlatego przydaje się inny dowód istnienia tej granicy. A reszta policzona też bez de l'Hospitala zgodnie z życzeniem. :) Zauważmy, że uzyskaliśmy na drodze przekształceń trygonometrycznych wyrażenia bardzo podobne do tych, które mielibyśmy przy regule de l'Hospitala. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj