Analiza matematyczna, zadanie nr 115

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
raczka1991 postów: 34	2011-03-27 15:00:07 Zbadaj ciągłość i różniczkowalność funkcji w punkcie $x_0=0$. $f(x)=\left\{\begin{matrix} x^2 \sin\frac{1}{x} \rightarrow x\neq 0 \\ 0 \rightarrow x=0 \end{matrix}\right.$ Otóż wychodzi mi, że JESt ciągła i NIE JEST różniczkowalna, ale w odpowiedziach jest odwrotnie.

tumor postów: 8070	2012-09-19 13:09:59 Różniczkowalność to tyle co istnienie granicy ilorazu różnicowego. $\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x \to 0}\frac{x^2\sin{\frac{1}{x}}-0}{x-0}=\lim_{x \to 0}x\sin{\frac{1}{x}}=0$ bo $\sin x$ jest ograniczony, a $\lim_{x \to 0}x=0$. Granica istnieje, zatem $f$ jest różniczkowalna. Ciągłość z kolei też można opisać granicą. Funkcja ciągła w $x_0$ spełnia warunek $\lim_{x \to x_0} f(x )= f(x_0)$ Ale przypuśćmy, że $\lim_{x \to x_0}f(x) \neq f(x_0)$, czyli $\lim_{x \to x_0}f(x)-f(x_0)=\epsilon\neq0$ I próbujmy policzyć pochodną $\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x \to x_0}\frac{\epsilon}{x-x_0}=\pm\infty$ Znak zależy od znaku licznika i kierunku z którego podchodzimy do $x_0.$ Funkcja, która nie jest ciągła, nie mogłaby być różniczkowalna. Skoro jest różniczkowalna, to jest też ciągła. Dlatego w odpowiedziach na pewno NIE JEST odwrotnie (a jeśli jest, to w odpowiedzi jest błąd), przedstawiona funkcja jest ciągła i różniczkowalna wszędzie.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj