logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 115

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

raczka1991
postów: 34
2011-03-27 15:00:07

Zbadaj ciągłość i różniczkowalność funkcji w punkcie $x_0=0$.
$f(x)=\left\{\begin{matrix} x^2 \sin\frac{1}{x} \rightarrow x\neq 0 \\ 0 \rightarrow x=0 \end{matrix}\right.$

Otóż wychodzi mi, że JESt ciągła i NIE JEST różniczkowalna, ale w odpowiedziach jest odwrotnie.


tumor
postów: 8070
2012-09-19 13:09:59

Różniczkowalność to tyle co istnienie granicy ilorazu różnicowego.

$\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x \to 0}\frac{x^2\sin{\frac{1}{x}}-0}{x-0}=\lim_{x \to 0}x\sin{\frac{1}{x}}=0$
bo $\sin x$ jest ograniczony, a $\lim_{x \to 0}x=0$.

Granica istnieje, zatem $f$ jest różniczkowalna.

Ciągłość z kolei też można opisać granicą. Funkcja ciągła w $x_0$ spełnia warunek
$\lim_{x \to x_0} f(x )= f(x_0)$

Ale przypuśćmy, że $\lim_{x \to x_0}f(x) \neq f(x_0)$, czyli
$\lim_{x \to x_0}f(x)-f(x_0)=\epsilon\neq0$

I próbujmy policzyć pochodną
$\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x \to x_0}\frac{\epsilon}{x-x_0}=\pm\infty$
Znak zależy od znaku licznika i kierunku z którego podchodzimy do $x_0.$
Funkcja, która nie jest ciągła, nie mogłaby być różniczkowalna. Skoro jest różniczkowalna, to jest też ciągła.

Dlatego w odpowiedziach na pewno NIE JEST odwrotnie (a jeśli jest, to w odpowiedzi jest błąd), przedstawiona funkcja jest ciągła i różniczkowalna wszędzie.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj