Algebra, zadanie nr 1151

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
02468 postów: 5	2013-02-27 20:51:04 Określić wymiary i wyznaczyć bazy podprzestrzeni liniowych generowanych przez podane zbiory wektorów ze wskazanych przestrzeni liniowych : a) (2, 1, 1), (-1, 1, 2), (3, 3, 4), (5, -2, -5), (0, 1, -1), $R^{3}$ b) $x^{3}$ + 2$x^{2}$ + x, $x^{2}$ - x + 1, $x^{3}$ + $x^{2}$, $x^{3}$ - x, 2$x^{2}$ -1, $R_{3}$x Wiadomość była modyfikowana 2013-02-27 20:52:25 przez 02468

tumor postów: 8070	2013-02-28 09:44:01 a) bierzemy wektory trójkami i sprawdzamy, czy znajdziemy układ liniowo niezależny. Można to sprawdzać różnie, ale może najszybciej liczyć rząd albo wyznacznik $\left[\begin{matrix} 2&1&1 \\ -1&1&2 \\0&1&-1 \end{matrix}\right]$ $\left[\begin{matrix} 0&3&5 \\ -1&1&2 \\0&1&-1 \end{matrix}\right]$ $\left[\begin{matrix} 0&8&0 \\ 1&0&0 \\0&1&-1 \end{matrix}\right]$ tu już chyba nie ma wątpliwości, że te trzy wektory są liniowo niezależne. Uwaga: tu sprawdzamy liniową niezależność przez sprawdzenie rzędu macierzy. Dla rzędu nie ma znaczenia, czy wykonujemy operacje na wierszach czy kolumnach, czy podzielimy/pomnożymy wiersz/kolumnę przez liczbę (byle nie przez 0), czy wektory zapisujemy w pionie czy w poziomie. Znaleźliśmy 3 wektory liniowo niezależne, więcej ich być nie może, wymiar jest 3. Moglibyśmy wpakować wszystkie wektory w jedną macierz i liczyć jej rząd, ale wziąłem trzy, które na oko dawały największe szanse sukcesu. Oczywiście maksymalny układ wektorów liniowo niezależnych stanowi tu bazę. Pewnie nie jedyną możliwą, ale mi się sprawdzać nie chce.

tumor postów: 8070	2013-02-28 10:00:27 b) bazą standardową jest $\{1,x,x^2,x^3,x^4\}$ Zapisujemy wektory w tej bazie $x+2x^2+x^3=(0,1,2,1)$ $1-x+x^2=(1,-1,1,0)$ $x^2+x^3=(0,0,1,1)$ $-x+x^3=(0,-1,0,1)$ $-1+2x^2=(-1,0,2,0)$ Wykonujemy operacje. Trzeci wiersz jest na pewno zależny od pierwszego i czwartego, to mi się rzuciło w oczy. Zostają jednak 4 pozostałe wiersze. Ich macierz jest 4x4 więc można liczyć wyznacznik. Jeśli będzie niezerowy (a będzie) to rząd jest 4 i te 4 wektory stanowią bazę. Gdyby był zerowy, to szukamy macierzy 3x3 o niezerowym wyznaczniku (jeśli znajdziemy, to rząd 3 i wektory odpowiadające wierszom macierzy stanowią bazę, a jeśli nie znajdziemy, to analogicznie 2x2). Można było wybrać każdą inną bazę przestrzeni wielomianów, ale byłoby trudniej podać współrzędne.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj