Rachunek różniczkowy i całkowy, zadanie nr 1158

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
mat12 postów: 221	2013-03-01 20:28:08 jeszcze w dwóch przykładach mam problem: Znaleźć rozwiązanie ogólne równań różniczkowych jednorodnych względem x i y: 1) $\frac{dy}{dx}= \frac{2ty}{t^{2}-y^{2}}$ 2) $(x+y)\frac{dy}{dx}+y =0$ w 2) odpowiedzią jest $x^{2}+2xy=C$ jeśli ktoś wie jak to zrobić to proszę aby się podzielił, z góry ogromnie dziękuję

zorro postów: 106	2013-03-05 20:53:07 1). przekształcamy aby po jednej stronie były tylko "y", a po drugiej "x" (rozdzielamy zmienne) i całkujemy obustronnie. $\int_{}^{}\frac{t^{2}-y^{2}}{2ty}dy=\int_{}^{}dx$ czyli: $\int_{}^{}\frac{t}{2y}dy-\int_{}^{}\frac{y}{2t}dy=\int_{}^{}dx$ $\frac{t}{2}ln\|y\|-\frac{1}{4t}y^{2}=x+c_{1}$ mnożąc obie strony przez $4t$ i podstawiając stałą $c=4tc_{1}$ mamy rozwiązanie ogólne: $2t^{2}ln\|y\|-y^{2}-4tx=c$

zorro postów: 106	2013-03-05 21:21:31 2). przekształcamy do postaci: $\frac{dy}{dx}=-\frac{\frac{y}{x}}{1+\frac{y}{x}}$ podstawiamy funkcję pomocniczą $u(x)=\frac{y}{x}$ Wówczas $\frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx}$ co po podstawieniu daje równanie: $u+x\frac{du}{dx}=-\frac{u}{1+u}$ Teraz podobnie jak w poprzednim przykładzie rozdzielamy zmienne i całkujemy obie strony: $x\frac{du}{dx}=-\frac{u(u+2)}{u+1}$ $\int_{}^{}\frac{u+1}{u(u+2)}du=-\int_{}^{}\frac{dx}{x}$ $ln\|u+2\|+\frac{1}{2}ln\|u\|-\frac{1}{2}ln\|u+2\|=-ln\|x\|+c_{1}$ dla wygody przyjmujemy $c_{1}=ln\|c_{2}\|$: $ln\|u(u+2)\|=2ln\frac{\|c_{2}\|}{\|x\|}$ Więc: $u(u+2)=\pm\frac{c_{2}^{2}}{x^{2}}$ Teraz przyjmujemy: $c=\pm c_{2}^{2}$ $u=\frac{y}{x}$ $x^{2}(\frac{y^{2}}{x^{2}}+2\frac{y}{x})=c$ Ostatecznie rozwiązanie ogólne ma postać: $y^{2}+2xy=c$ Obliczając pochodną funkcji uwikłanej możesz się przekonać, że to jest właściwe rozwiązanie, a nie tamto, które podałeś w zadaniu na wstępie. Wiadomość była modyfikowana 2013-03-05 21:27:42 przez zorro

mat12 postów: 221	2013-03-06 16:38:44 bardzo dziękuję:) faktycznie w wyniku ma być $y^{2}$ a nie $x^{2}$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj