Statystyka, zadanie nr 1185

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
knapiczek postów: 112	2013-03-11 19:58:41 Dwoje znajomych umawia sie w pewnym miejscu. Kazdy ma przyjsc w dowolnej chwili miedzy godz. 15.00, a 16.00 i czekac na drugiego przez 20 minut. Jakie jest prawdopodobienstwo,ze sie spotkaja?

zorro postów: 106	2013-03-13 06:26:23 To jest ciekawskie zadanie. Na ogół nie mam sentymentu tego działu matmy, ale pogłówkujmy: 1. Nie jest zupełnie jasne w zadaniu, czy koledzy zgadali się co do spóźnień tzn. Czy jeśli któryś przyjdzie np. tuż przed 16.00, a drugiego jeszcze nie będzie, to czy pierwszy będzie czekał jeszcze 20 minut? Wtedy każdy z nich musiałby wiedzieć, że drugi może się spóźnić max 20 minut. Wydłuża to rozważany przedział czasu o 20 minut. 2.Jeśli każdy MUSI przyjść na czas, to musimy przyjąć, że okres czekania wynosi 20 min lub krócej (gdyż kiedy zegar wybije 16.00 nie ma sensu czekać, bo drugi i tak nie przyjdzie). Rozważmy najpierw wersję 2 bo wydaje mi się, że taka jest intencja autora zadania: Każdy z kolegów może pojawić się w miejscu spotkania o 15.00 Każdy z kolegów opuści miejsce spotkania nie później jak o 16.00 Wykonujemy rysunek pomocniczy w układzie współrzędnych. Dla uproszczenia niech: $0$ - odpowiada czasowi przyjścia (15.00) $1$ - odpowiada pełnej godzinie (16.00) wówczas interwał $\frac{1}{3}$ - odpowiada czasowi 20 minut Na osi x zaznaczamy czas $<0,1>$ pierwszego kolegi Na osi y zaznaczamy czas $<0,1>$ drugiego kolegi Pole powstałego kwadratu odzwierciedla wszystkie możliwe zdarzenia. Odcinki prostych wewnątrz tego kwadratu opisują: $y=x$ - zdarzenia w których obydwaj przyszli jednocześnie $y=x+\frac{1}{3}$ - zdarzenia w których drugi z kolegów pojawił się dokładnie w momencie gdy pierwszy opuszczał miejsce spotkania $y=x-\frac{1}{3}$ - zdarzenia w których pierwszy z kolegów pojawił się dokładnie w momencie gdy drugi opuszczał miejsce spotkania Pole ograniczone kwadratem oraz leżące między prostymi: $y=x-\frac{1}{3}$ oraz $y=x+\frac{1}{3}$ Odpowiada zdarzeniom sprzyjającym Prawdopodobieństwo będzie wynosić tyle ile wynosi to pole w odniesieniu do pola kwadratu. Z rysunku widać, że szukane pole to pole kwadratu pomniejszone o dwa trójkąty prostokątne o przyprostokątnych równych $\frac{2}{3}$ $p=\frac{1-\frac{2}{3}*\frac{2}{3}}{1}=\frac{5}{9}$ Wiadomość była modyfikowana 2013-03-13 06:44:51 przez zorro

zorro postów: 106	2013-03-13 06:40:28 Teraz rozważmy wersję 1. Każdy z kolegów może pojawić się w miejscu spotkania o 15.00 Każdy z kolegów opuści miejsce spotkania nie później jak o 16.20 Wykonujemy podobny rysunek jak poprzednio z tym, że: Na osi x zaznaczamy czas $<0,\frac{4}{3}>$ pierwszego kolegi Na osi y zaznaczamy czas $<0,\frac{4}{3}>$ drugiego kolegi Utworzymy kwadrat o polu $S=(\frac{4}{3})^{2}=\frac{16}{9}$ Odcinki prostych wymienionych wyżej i ograniczonych tym kwadratem wyznaczają pole odpowiadające zdarzeniom sprzyjającym. Z rysunku widać, że szukane pole to pole kwadratu pomniejszone o dwa trójkąty prostokątne o przyprostokątnych równych $1$ Zatem: $p=\frac{\frac{16}{9}-1}{\frac{16}{9}}=\frac{7}{16}$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj