Analiza matematyczna, zadanie nr 1225

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
55555 postów: 60	2013-03-27 11:00:27 Obliczyć granice : a) $\lim_{x \to 0}$ $\frac{\sqrt[3]{1 + x} - 1}{x}$ b) $\lim_{x \to 2}$ $\frac{\sqrt{x^3 - 3x^2 + 4} - x + 2}{x^2 - 4}$ c) $\lim_{x \to + \infty}$ $\sqrt{x^2 + 2x}$ + $\sqrt[3]{x^3 + x^2}$ d) $\lim_{x \to 1}$ (1-x)tg$\frac{\pi}2{x}$ e) $\lim_{x \to 0}$ $\frac{e^x - 1}{x}$ f) $\lim_{x \to -2}$ $\frac{arc sin(x + 2)}{x^2 + 2x}$ g) $\lim_{(x,y) \to (0,0)}$ ( x + y)sin$\frac{1}{x}sin$$\frac{1}{y}$ h) $\lim_{(x,y) \to (0,0)}$ $\frac{x^2y}{x^2 + y^2}$

tumor postów: 8070	2013-03-27 18:15:28 a) $= \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[3]{1+x}-1}{x}*\frac{(x+1)^\frac{2}{3}+(x+1)^\frac{1}{3}+1}{(x+1)^\frac{2}{3}+(x+1)^\frac{1}{3}+1}=\lim_{x \to 0}\frac{x}{x((x+1)^\frac{2}{3}+(x+1)^\frac{1}{3}+1)}=\frac{1}{3}$

tumor postów: 8070	2013-03-27 18:19:16 b) $= \lim_{x \to 2}\frac{\sqrt{(x-2)^2(x+1)}-(x-2)}{(x-2)(x+2)}= \lim_{x \to 2}\frac{\|x-2\|\sqrt{(x+1)}-(x-2)}{(x-2)(x+2)}= \lim_{x \to 2}\frac{sgn(x-2)\sqrt{(x+1)}-1}{(x+2)}$ Granica nie istnieje, bo granice jednostronne są różne (zależnie od $sgn(x-2)$ )

tumor postów: 8070	2013-03-27 18:24:13 c) $=+\infty$ Może w przykładzie był minus?

tumor postów: 8070	2013-03-27 18:35:04 e) A czego możemy użyć? 1) Z de l'Hospitala dostajemy od razu $=1$ 2) Jeśli mamy definicję $e^x= \sum_{i=0}^{\infty}\frac{x^i}{i!}$ Mamy zatem $\frac{e^x-1}{x}=\frac{-1 + 1+x+\frac{x^2}{2!}+...}{x}= 1+\frac{x}{2!}+\frac{x^2}{3!}+\frac{x^3}{4!}+...$ no i $1\le 1+\frac{x}{2!}+\frac{x^2}{3!}+\frac{x^3}{4!}+...\le 1+x$ z twierdzenia o 3 ciągach dostajemy granicę 1 Wiadomość była modyfikowana 2013-03-31 22:29:08 przez tumor

tumor postów: 8070	2013-03-28 17:06:14 g) $\lim_{(x,y) \to (0,0)}(x+y)sin\frac{1}{x}sin\frac{1}{y}$ $x_n+y_n$ jest zbieżny do $0$ $sin\frac{1}{x_n}sin\frac{1}{y_n}$ jest ograniczony zatem granicą jest $0$

tumor postów: 8070	2013-04-01 08:47:57 h) dla $x\neq 0$ mamy $\frac{x^2y}{x^2+y^2}=\frac{x^2y}{x^2(1+\frac{y^2}{x^2})}=\frac{y}{1+\frac{y^2}{x^2}}$ co zbiega do $0$, gdy $y\rightarrow 0$ Dla $x=0$ granica w $0$ oczywista.

tumor postów: 8070	2013-04-01 09:02:19 f) np z de l'Hospitala mamy $\lim_{x \to 0}\frac{arcsinx}{x}=1$ $\lim_{x \to -2}\frac{arcsin(x+2)}{x^2+2x}= \lim_{x \to -2}\frac{arcsin(x+2)}{x(x+2)}=\frac{1}{-2}$

tumor postów: 8070	2013-04-01 09:13:05 d) $\lim_{x \to 1}(1-x)tg(\frac{\pi}{2}x)= \lim_{x \to 1}\frac{1-x}{ctg(\frac{\pi}{2}x)}=$ z de l'Hospitala $\lim_{x \to 1}\frac{-1}{-\frac{1}{sin^2\frac{\pi}{2}x}*\frac{\pi}{2}}=\frac{2}{\pi}$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj