Analiza matematyczna, zadanie nr 1226

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
popopo postów: 5	2013-03-27 11:17:03 1) Pokazać, że funkcja f : $R^{2}$$\rightarrow$R, określona w następujący sposób : f(x,y) = $\left\{\begin{matrix} \frac{xy}{x^2 + y^2} dla (x,y)\neq (0,0)\\ 0 dla x = y = 0 \end{matrix}\right.$ jest nieciągła w punkcie (0,0). 2) Zbadać ciągłość funkcji f : (-1, + $\infty$)$\rightarrow$R, określonej wzorem f(x) = $\lim_{n \to \infty}$ $\frac{x^2}{1 + x^n}$ 3) Dobrać a $\in$ R tak, żeby funkcja f(x) = $\left\{\begin{matrix} \frac{\sqrt{1 + x} - 1}{x} dla x \neq 0 i x\ge -1\\a dla x = 0\end{matrix}\right.$ była ciągła na < -1, $\infty$).

55555 postów: 60	2013-03-28 14:05:22 Wiadomość była modyfikowana 2013-03-28 14:06:22 przez 55555

popopo postów: 5	2013-03-28 14:07:36 w 1) ma być 0 dla x = y = 0 w 2) a dla x = 0

tumor postów: 8070	2013-03-28 16:30:47 1) weźmy $y_n=x_n=\frac{1}{n}$ $(x_n,y_n)\rightarrow (0,0) \iff n \rightarrow \infty$ $\lim_{n \to \infty}f(x_n,y_n)=\lim_{n \to \infty}\frac{\frac{1}{n^2}}{\frac{2}{n^2}}=\frac{1}{2}$ Podczas gdy $f(0,0)=0$ (gdyby była ciągła, to niezależnie od dobranego ciągu $x_n,y_n$ zbieżnego do $0,0$ granica $f(x_n,y_n)$ musiałaby być równa $f(0,0)$)

tumor postów: 8070	2013-03-28 16:40:41 2) jeśli $\|x\|<1$ to $x^n \to 0$, czyli $ f(x)=\lim_{n \to \infty}x^2=x^2$ (czyli na pewno ciągła na $(-1,1)$) jeśli $x=1$ to $f(x)=\lim_{n \to \infty}\frac{x^2}{1+x^n}=\frac{1}{2}$ jeśli $x>1$ to $f(x)=\lim_{n \to \infty}\frac{x^2}{1+x^n}=0$ (czyli ciągła w $(1,\infty)$) Natomiast w $x=1$ ciągła nie jest, bo granice jednostronne $ \lim_{x \to 1-}f(x)=\lim_{x \to 1-}x^2=1$ $\lim_{x \to 1+}f(x)=\lim_{x \to 1+}0=0$ są różne od $f(1)$.

tumor postów: 8070	2013-03-28 16:48:49 3) poza $x=0$ ciągła jako iloraz/suma/złożenie funkcji ciągłych. Potrzebujemy, by jeszcze była ciągła w $x=0$. Mamy $f(0)=a$. $\lim_{x \to 0}f(x)=\lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}= \lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}*\frac{\sqrt{x+1}+1}{\sqrt{x+1}+1}=\lim_{x \to 0}\frac{x}{x(\sqrt{x+1}+1)} =\lim_{x \to 0}\frac{1}{\sqrt{x+1}+1}=\frac{1}{2}$ by prawdziwa była równość $f(0)=\lim_{x \to 0}f(x)$ musimy mieć $a=\frac{1}{2}$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj