Analiza matematyczna, zadanie nr 1228

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
popopo postów: 5	2013-03-30 17:43:37 1) Znaleźć granice lewostronną i prawostronną następujących funkcji : a) $\frac{x}{a}$ $[\frac{b}{x}]$ w punkcie x = 0 b) $\frac{e^\frac{1}{x}-1}{e^\frac{1}{x}+1}$ c) x$e^{\frac{1}{x}}$ w punkcie x = 0 d) $\frac{b}{x}$ $[\frac{x}{a}]$ w punkcie x = 0 e) $e^{\frac{1}{1 - x^3}}$ w punkcie x = 1 f) $\frac{x}{2x + e^{\frac{1}{x-1}}}$ g)$\frac{x}{1 + e^{\frac{1}{x}}}$ w punkcie x = 0 h) $\frac{2^\frac{1}{x} + 3}{3^\frac{1}{x} + 2}$ w punkcie x = 0 i) $\frac{1}{2^x-a}$ w punkcie x = a w c) e^1/x, w e) 1/e^(1-x^3), w h) (2^1/x +3)/(3^1/x + 2), w i) 2^x, napisałam to, co może być nie do odczytania Wiadomość była modyfikowana 2013-03-30 17:49:27 przez popopo

tumor postów: 8070	2013-03-31 19:29:20 Ogólnie traktuję stałe jako dodatnie. Jeśli chcemy dopuścić dowolne ich wartości, to najczęściej do moich rozwiązań trzeba dodać jeszcze poprawki. a) zauważamy, że $\frac{b}{x}-1 \le [\frac{b}{x}] \le \frac{b}{x}+1$ $\lim_{x \to 0}\frac{x}{a}(\frac{b}{x}\pm 1)= \lim_{x \to 0}\frac{x}{a}\frac{b}{x}\pm \frac{x}{a}=\frac{b}{a}$ Używamy twierdzenia o trzech funkcjach, a jak mamy granicę, to granice jednostronne uzyskujemy z twierdzenia o uzyskiwaniu granic jednostronnych z granicy.

tumor postów: 8070	2013-03-31 19:29:30 d) tu przede wszystkim zauważamy, jak różni się ten przykład od powyższego. Powyżej nieistotna była pewna terminologiczna uwaga na temat funkcji $[x]$. Otóż dość często definiuje się wartość funkcji jako $[x]=max\{z\in Z: z\le x\}$, co odpowiada definicji funkcji podłoga (floor). Zdarza się jednak i definicja odmienna, tzn. $[x]=\left\{\begin{matrix} max\{z\in Z: z\le x\} \mbox{ dla } x\ge 0\\ min\{z\in Z: z\ge x\} \mbox{ dla } x<0 \end{matrix}\right.$ Zatem zrobię tu oba przypadki, ale w przyszłości raczej pisz także definicje tego, czego używasz, a zamiast całości/cechy używaj podłogi i sufitu. :) 1) pierwsza definicja (czyli podłoga). Wówczas dla $x\in (-a,0)$ mamy $[\frac{x}{a}]=-1$ natomiast dla $x\in (0,a)$ mamy $[\frac{x}{a}]=0$ Stąd $\lim_{x \to 0-}\frac{b}{x}[\frac{x}{a}]=\lim_{x \to 0-}\frac{-b}{x}=-\infty$ $ \lim_{x \to 0+}\frac{b}{x}*0=0$ 2) druga definicja Tu będzie prościej, bo dla $x\in (-a,a)$ mamy $[\frac{x}{a}]=0$ czyli granica w $x=0$ równa $0$

tumor postów: 8070	2013-03-31 19:36:18 c) $xe^\frac{1}{x}=\frac{e^\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}$ Podstawmy $y=\frac{1}{x}$ Mamy $\lim_{x \to 0+}xe^\frac{1}{x}=\lim_{y \to +\infty}\frac{e^y}{y}=+\infty$ (jeśli ta granica nie jest oczywista to z de l'Hospitala albo z szeregu Taylora dla $e^y$ łatwo wyjdzie) $\lim_{x \to 0-}xe^\frac{1}{x}=\lim_{y \to -\infty}\frac{e^y}{y}=0$

tumor postów: 8070	2013-03-31 19:40:18 b) $\frac{e^\frac{1}{x}-1}{e^\frac{1}{x}+1}=1-\frac{2}{e^\frac{1}{x}+1}$ $\lim_{x \to 0-}1-\frac{2}{e^\frac{1}{x}+1}=-1$ $\lim_{x \to 0+}1-\frac{2}{e^\frac{1}{x}+1}=1$

tumor postów: 8070	2013-03-31 19:45:07 e) $\frac{1}{e^{1-x^3}}=e^{x^3-1}$ To funkcja ciągła, dla $x=1$ mamy $e^{x^3-1}=1$, takie też muszą być granice jednostronne.

tumor postów: 8070	2013-03-31 19:51:42 i) $\frac{1}{2^x-a}$ Przede wszystkim zauważamy, że $2^a>a+\frac{1}{666!\pi^ee^\pi}$, zatem dla $x$ należących do pewnego otoczenia punktu $a$ mianownik się nie zeruje, w tym otoczeniu funkcja jest ciągła, granice jednostronne w $a$ są zatem równe wartości funkcji w $a$, czyli $\frac{1}{2^a-a}$

tumor postów: 8070	2013-03-31 21:57:32 h) $\frac{2^\frac{1}{x}+3}{3^\frac{1}{x}+2}$ Policzmy granicę lewostronną. Wtedy $2^\frac{1}{x} \rightarrow 0$ $3^\frac{1}{x} \rightarrow 0$ Czyli granica równa $\frac{3}{2}$ Natomiast granicę prawostronną możemy znów przez podstawienie. $y=\frac{1}{x}$ $\lim_{x \to 0+}\frac{2^\frac{1}{x}+3}{3^\frac{1}{x}+2}= \lim_{y \to +\infty}\frac{2^y+3}{3^y+2}=0$

tumor postów: 8070	2013-03-31 22:02:25 g) $\frac{x}{1+e^\frac{1}{x}}$ lewostronna $e^\frac{1}{x} \rightarrow 0$ $x \rightarrow 0$ czyli granica lewostronna równa $0$ prawostronna $e^\frac{1}{x} \rightarrow +\infty$ $x \rightarrow 0$ czyli granica prawostronna równa $0$

tumor postów: 8070	2013-04-01 09:48:21 f) $\frac{x}{2x+e^\frac{1}{x-1}}$ Załóżmy, że liczymy w $x=1$ $\lim_{x \to 1+}e^\frac{1}{x-1}=+\infty$ $\lim_{x \to 1-}e^\frac{1}{x-1}=0$ zatem $ \lim_{x \to 1+}\frac{x}{2x+e^\frac{1}{x-1}}=0$ $\lim_{x \to 1-}\frac{x}{2x+e^\frac{1}{x-1}}=\frac{1}{2}$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj