Analiza matematyczna, zadanie nr 1235

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
popopo postów: 5	2013-04-03 15:51:42 1) Niech f : R $\rightarrow$ R będzie określona następująco : f(x) = $\left\{\begin{matrix} 2 + e^\frac{1}{x}\ dla x < 0 \\ \frac{sin ax}{x}\ dla\ x > 0 \\ \lim_{x \to 0^{-}(2 + e^\frac{1}{x})\ dla\ x = 0 } \end{matrix}\right.$ Dobrać parametr a tak, żeby funkcja była ciągła na R. 2) Dobrać parametry a, b, c tak, żeby funkcja f : R $\rightarrow$ R, określona w następujący sposób f(x) = $\left\{\begin{matrix} \frac{sin ax}{x} dla\ x < 0 \\ \frac{x^3 - 1}{x^2 + x - 2} dla\ 0 \le x <1 \\ c\ dla\ x = 1 \\ \frac{x^2 + (b - 1)x - b}{x - 1}\ dla\ x > 1 \end{matrix}\right.$ była ciągła na zbiorze R. 3) Zbadać ciągłość następujących funkcji : a) f(x) = sgn(sinx), x $\in$ R, gdzie sgnx = $\left\{\begin{matrix} 1 dla\ x> 0 \\ 0\ dla\ x = 0 \\ -1\ dla\ x < 0 \end{matrix}\right.$ b) f(x) = $\left\{\begin{matrix} sin\pi\ x dla\ x\ wymiernych \\ 0\ dla\ x\ niewymiernych \end{matrix}\right.$

tumor postów: 8070	2013-04-20 08:18:23 1) potrzebujemy mieć $\lim_{x \to 0-}2+e^\frac{1}{x}=\lim_{x \to 0+}\frac{sinax}{x}$ czyli $2=a$ Wiadomość była modyfikowana 2013-04-20 08:18:57 przez tumor

tumor postów: 8070	2013-04-20 08:25:51 2) Potrzebujemy mieć $\lim_{x \to 0-}\frac{sinax}{x} = \lim_{x \to 0+}\frac{x^3-1}{x^2+x-2}$ $\lim_{x \to 1-}\frac{x^3-1}{x^2+x-2} =f(1)= \lim_{x \to 1+}\frac{x^2+(b-1)x-b}{x-1}$ czyli $a=\frac{1}{2}$ $1=c=1+b$ czyli $a=\frac{1}{2}$ $b=0$ $c=1$

tumor postów: 8070	2013-04-20 08:30:40 3. a) $f(x)=sgn(sinx)$ Wiemy, że $sinx$ jest dodatni w $(0+2k\pi,\pi+2k\pi)$, tam $f$ ciągła jako funkcja stała ujemny w $(-\pi+2k\pi,0+2k\pi)$, tam $f$ ciągła jako funkcja stała a zeruje się w $k\pi$, tam $f$ nie jest ciągła, bo wartość funkcji $0$, a granice $\pm 1$ Wszędzie wyżej $k\in Z$. :)

tumor postów: 8070	2013-04-20 08:35:50 b) Funkcja $f$ w $x=k\pi$ dla $k\in Z$ jest ciągła, co akurat nietrudno uzasadnić i z def. Cauchy'ego (bo i $0$ i $sinx$ będą mieć wartości w przedziale epsilonowym) i z def Heinego (bo ciągi z przemieszanych wartości 0 i $sinx$ dla $x$ zbieżnego do $k\pi$ będą zbieżne do $0$). Poza $k\pi$ funkcja ciągła nie jest, bo $sinx$ jest wtedy różny od $0$ w pewnym otoczeniu punktu $x$, czyli idąc po wymiernych musimy dostawać granice różne od $0$, a po niewymiernych równe $0$.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj