Topologia, zadanie nr 1262
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
03031993 post贸w: 4 |  2013-04-15 18:32:46Ustali膰 zwi膮zki miedzy zbiorami : 1) cl(A$\cap$B) i clA$\cap$clB 2) int(A$\cup$B) i intA$\cup$intB 3) cl(A\B) i clA\clB 4) int(A\B) i intA\intB 5) Fr(A$\cup$B) i FrA$\cup$FrB 6) Fr(A$\cap$B) i FrA$\cap$FrB |
tumor post贸w: 8070 | 2013-04-15 19:22:58 1. Mamy $A\cap B \subset A$ oraz $A\cap B \subset B$ Wtedy $cl(A\cap B)\subset cl A$ oraz $cl(A\cap B)\subset cl B$ Zatem $cl(A\cap B)\subset cl A \cap clB$ Zawieranie w drug膮 stron臋 zachodzi膰 nie musi, np dla $A=Q$, $B=Q`$ |
tumor post贸w: 8070 | 2013-04-15 19:24:47 2. Rozumowanie analogiczne $intA \subset int(A\cup B)$ $int A\cup int B\subset int (A\cup B)$ W drug膮 stron臋 przyk艂ad ten co w punkcie 1. |
tumor post贸w: 8070 | 2014-08-11 16:57:24 3. Poka偶emy $clA \backslash cl B\subset cl (A\backslash B)$ We藕my $x\in clA \backslash cl B$, czyli $x\in clA, x\notin cl B$, czyli $\forall_{U_x-otoczenie} U_x \cap A\neq \emptyset$ oraz $\exists_{U^0_x-otoczenie}U^0_x\cap B= \emptyset$ Niech $U$ b臋dzie dowolnym otoczeniem $x$. Przekr贸j $U\cap U^0_x$ jest otwartym otoczeniem $x$, ma pusty przekr贸j z $B$ i niepusty z $A$, zatem ma niepusty przekr贸j z $A\backslash B$. Zatem $U$ ma niepusty przekr贸j z $A\backslash B$. $U$ jest wybrany dowolnie, st膮d $x\in cl(A\backslash B)$ |
tumor post贸w: 8070 | 2014-08-11 17:00:21 4. Poka偶emy $int(A\backslash B) \subset intA \backslash int B$ Niech $x\in int (A\backslash B)$, wtedy istnieje otoczenie $U$ punktu $x$ takie, 偶e $U\subset A$ oraz $U\cap B=\emptyset$, czyli $x \in int A $oraz $x \notin clB$, czyli tak偶e $x\notin int B$ |
tumor post贸w: 8070 | 2014-08-11 17:08:08 5. Poka偶emy $Fr(A\cup B) \subset Fr A \cup Fr B$ We藕my $x\in Fr(A\cup B)$, czyli $x\in cl (A\cup B)$ oraz $x\notin int (A\cup B)$ St膮d zachodzi co najmniej jedno z a) $\forall_{U_x-otoczenie}U_x\cap A\neq \emptyset$ b) $\forall_{U_x-otoczenie}U_x\cap B\neq \emptyset$ (bo gdyby istnia艂o jakie艣 otoczenie roz艂膮czne z $A$ i jakie艣 roz艂膮czne z $B$, to przekr贸j otocze艅 by艂by otoczeniem roz艂膮cznym z sum膮 $A\cup B$) kontynuujmy rozumowanie zak艂adaj膮c a), bowiem b) jest dok艂adnie analogiczne. Dostajemy $x\in cl A$ Mamy $x\notin int (A\cup B)$, czyli $x \notin int A$ oraz $x\notin int B$, czyli $x \in FrA$ (lub analogicznie $x\in FrB$) |
adamw88 post贸w: 8 | 2014-08-11 17:18:21 6.Wstawiamy do poprzedniego $C= X \setminus A \ \ D=X \setminus B$Przekszta艂camy prawami De Morgana |
tumor post贸w: 8070 | 2014-08-11 17:21:38 w 6. nie mamy koniecznego zawierania w 偶adn膮 stron臋. Rozwa偶my bowiem dwa przypadki a) $A=R$, $B=Q$, w贸wczas $Fr(A\cap B)=FrQ=R$, $Fr(A)=\emptyset$ b) $A=Q$, $B=Q`$, w贸wczas $Fr(A\cap B)=Fr(\emptyset)=\emptyset$, $Fr(A)=Fr(B)=R$ Tych samych kontrprzyk艂ad贸w u偶ywamy we wcze艣niejszych zadaniach, by pokaza膰, 偶e nie zachodz膮 zawierania w stron臋 przeciwn膮 do pokazanej. 3. a) 4. a) 5. b) |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj