Topologia, zadanie nr 1262

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
03031993 postów: 4	2013-04-15 18:32:46 Ustalić związki miedzy zbiorami : 1) cl(A$\cap$B) i clA$\cap$clB 2) int(A$\cup$B) i intA$\cup$intB 3) cl(A\B) i clA\clB 4) int(A\B) i intA\intB 5) Fr(A$\cup$B) i FrA$\cup$FrB 6) Fr(A$\cap$B) i FrA$\cap$FrB

tumor postów: 8070	2013-04-15 19:22:58 1. Mamy $A\cap B \subset A$ oraz $A\cap B \subset B$ Wtedy $cl(A\cap B)\subset cl A$ oraz $cl(A\cap B)\subset cl B$ Zatem $cl(A\cap B)\subset cl A \cap clB$ Zawieranie w drugą stronę zachodzić nie musi, np dla $A=Q$, $B=Q`$

tumor postów: 8070	2013-04-15 19:24:47 2. Rozumowanie analogiczne $intA \subset int(A\cup B)$ $int A\cup int B\subset int (A\cup B)$ W drugą stronę przykład ten co w punkcie 1.

tumor postów: 8070	2014-08-11 16:57:24 3. Pokażemy $clA \backslash cl B\subset cl (A\backslash B)$ Weźmy $x\in clA \backslash cl B$, czyli $x\in clA, x\notin cl B$, czyli $\forall_{U_x-otoczenie} U_x \cap A\neq \emptyset$ oraz $\exists_{U^0_x-otoczenie}U^0_x\cap B= \emptyset$ Niech $U$ będzie dowolnym otoczeniem $x$. Przekrój $U\cap U^0_x$ jest otwartym otoczeniem $x$, ma pusty przekrój z $B$ i niepusty z $A$, zatem ma niepusty przekrój z $A\backslash B$. Zatem $U$ ma niepusty przekrój z $A\backslash B$. $U$ jest wybrany dowolnie, stąd $x\in cl(A\backslash B)$

tumor postów: 8070	2014-08-11 17:00:21 4. Pokażemy $int(A\backslash B) \subset intA \backslash int B$ Niech $x\in int (A\backslash B)$, wtedy istnieje otoczenie $U$ punktu $x$ takie, że $U\subset A$ oraz $U\cap B=\emptyset$, czyli $x \in int A $oraz $x \notin clB$, czyli także $x\notin int B$

tumor postów: 8070	2014-08-11 17:08:08 5. Pokażemy $Fr(A\cup B) \subset Fr A \cup Fr B$ Weźmy $x\in Fr(A\cup B)$, czyli $x\in cl (A\cup B)$ oraz $x\notin int (A\cup B)$ Stąd zachodzi co najmniej jedno z a) $\forall_{U_x-otoczenie}U_x\cap A\neq \emptyset$ b) $\forall_{U_x-otoczenie}U_x\cap B\neq \emptyset$ (bo gdyby istniało jakieś otoczenie rozłączne z $A$ i jakieś rozłączne z $B$, to przekrój otoczeń byłby otoczeniem rozłącznym z sumą $A\cup B$) kontynuujmy rozumowanie zakładając a), bowiem b) jest dokładnie analogiczne. Dostajemy $x\in cl A$ Mamy $x\notin int (A\cup B)$, czyli $x \notin int A$ oraz $x\notin int B$, czyli $x \in FrA$ (lub analogicznie $x\in FrB$)

adamw88 postów: 8	2014-08-11 17:18:21 6.Wstawiamy do poprzedniego $C= X \setminus A \ \ D=X \setminus B$Przekształcamy prawami De Morgana

tumor postów: 8070	2014-08-11 17:21:38 w 6. nie mamy koniecznego zawierania w żadną stronę. Rozważmy bowiem dwa przypadki a) $A=R$, $B=Q$, wówczas $Fr(A\cap B)=FrQ=R$, $Fr(A)=\emptyset$ b) $A=Q$, $B=Q`$, wówczas $Fr(A\cap B)=Fr(\emptyset)=\emptyset$, $Fr(A)=Fr(B)=R$ Tych samych kontrprzykładów używamy we wcześniejszych zadaniach, by pokazać, że nie zachodzą zawierania w stronę przeciwną do pokazanej. 3. a) 4. a) 5. b)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj