Topologia, zadanie nr 1264

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
55555 postów: 60	2013-04-15 19:34:18 1) Wykazać, że dla dowolnej przestrzeni metrycznej X zachodzą równości : intA = X\cl(X\A) clB = X\int(X\B) 2) Wykazać, że w dowolnej przestrzeni metrycznej każdy zbór jednoelementowy jest zbiorem domkniętym. 3) Wykazać, że w dowolnej przestrzeni metrycznej kula domknięta (otwarta) jest zbiorem domkniętym (otwartym).

tumor postów: 8070	2013-04-15 19:43:01 2. Niech $x_0$ będzie ustalonym elementem. Jeśli $x\neq x_0$, to $\rho(x,x_0)=\epsilon >0$, wtedy $x_0 \notin K(x,\epsilon)$. Czyli $X\backslash \{x_0\}$ jest otwarty.

tumor postów: 8070	2013-04-15 19:52:03 3. Jak były definiowane zbiory otwarte w przestrzeniach metrycznych? Prawdopodobnie chodzi o rozwiązanie takie: Niech $K(x_0,\epsilon)=\{x\in X: \rho(x,x_0)<\epsilon\}$ Jeśli $x\in K(x_0,\epsilon)$, to $\rho(x,x_0)=\delta <\epsilon$ Weźmy $\sigma= \frac{\epsilon-\delta}{2}$. Wtedy $K(x,\sigma)\subset K(x_0,\epsilon)$

tumor postów: 8070	2014-08-11 16:48:40 1. Mamy pokazać $X\backslash int A = cl(X\backslash A)$ Podejrzewam, że wnętrze jest definiowane jako suma kul otwartych zawartych w A. Jeśli domknięcie nie jest wprost zdefiniowane tym warunkiem wyżej, to pewnie się definiuje: $x\in cl B \iff \forall_{r>0}B\cap K(x,r)\neq \emptyset$ ale oczywiście tylko zgaduję. Jeśli definicje rzeczywiście były takie, to $x\in int A \iff \exists_{r>0} K(x,r)\subset A \iff \exists_{r>0} K(x,r)\cap (X\backslash A)=\emptyset \iff x\notin cl(X\backslash A)$ Następnie mamy pokazać $X\backslash cl A = int(X\backslash A)$ co wynika wprost z powyższego, gdy zastąpimy $X\backslash A = B$ $A=X\backslash B$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj