logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Teoria mnogości, zadanie nr 1273

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

alessa
postów: 1
2013-04-17 15:17:31

Mam zadanie, za które nie do końca wiem jak się zabrać, a mam poprawkę egzaminu i chciałabym się nauczyć jak tego typu zadania rozwiązywać:

Zadanie: Na płaszczyźnie z ustalonym układem współrzędnych definiujemy relację $\sim f : R \times R$ wzorem:
$(x,y) \sim (w,z) \iff x^{2} + y^{2} = w^{2} + z^{2}$,
(a) Sprawdź czy jest to relacja równoważności.
(b) Opisz klasę abstrakcji punktu (0,0).
(c) Narysuj klasę abstrakcji (0,1) relacji ~.

Domyślam się, że chodzi tu o równania okręgów, ale zupełnie nie wiem jak się za to zabrać. Wskazówki byłyby mile widziane lub też rozwiązanie zadanka z wyjaśnieniem.


tumor
postów: 8070
2013-04-19 01:13:07

Słusznie się domyślasz.

Jak byś kogoś przekonywała, że to relacja równoważności? Spotykasz mnie. Ja mówię "no nie wierzę, jaka tam równoważność". Wtedy Ty mówisz:

Jest to relacja zwrotna, tumor, bo przecież
$x^2+y^2=x^2+y^2$, a to oznacza, że $(x,y)\sim (x,y)$ dla każdych $x,y$.
Poza tym oczywiście jest to relacja symetryczna, bo symetryczne znaczenie ma znak =. Czyli
$x^2+y^2=w^2+z^2$ to to samo co $w^2+z^2=x^2+y^2$, a zatem jeśli $(x,y) \sim (w,z)$ to automatycznie $(w,z)\sim (x,y)$.
No i jest to relacja przechodnia, bo i znak = działa przechodnio. Skoro $x^2+y^2=w^2+z^2$ i $w^2+z^2=m^2+n^2$, to oczywiście $x^2+y^2=m^2+n^2$, zatem skoro $(x,y)\sim (w,z)$ i $(w,z)\sim (m,n)$, to także $(x,y)\sim (m,n)$.

Relacja zwrotna, symetryczna i przechodnia jest relacją równoważności.

I nie pozostanie mi nic innego jak się zgodzić.

Klasa abstrakcji $(0,0)$ to zbiór par liczb rzeczywistych $(x,y)$ takich, że $0^2+0^2=x^2+y^2$, czyli do tej klasy abstrakcji należy tylko para $(0,0)$.

Klasa abstrakcji $(0,1)$ to zbiór par liczb rzeczywistych $(x,y)$ takich, że $0^2+1^2=x^2+y^2$, czyli do tej klasy abstrakcji należą punkty spełniające $1=x^2+y^2$, czyli okrąg o środku $(0,0)$ i promieniu $1$.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj